3.標準形と三角因子分解

3.3　問題293.3.P29\( A, K \in M_n \) とし、\( K \) は反転行列であり、\( A = KAK \) が成り立つとする。このとき以下を示しなさい。(a) ある \( m \in \{0,1,\ldots,n...

3.3　問題283.3.P28\( K \in M_n \) が反転行列（involution, \( K^2 = I \)）であると仮定する。このとき、\( K \) が対角化可能であり、かつある \( m \in \{0,1,\ldot...

3.3　問題273.3.P27複素数値関数 \( y(t) \) に対する n 次線形斉次常微分方程式y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + a_{n-2} y^{(n-2)} + \cdots + a_1 y' + a...

3.3　問題263.P26これは (2.4.P16) の一般化である。\( A \in M_n \) の異なる固有値を \( \lambda_1, \ldots, \lambda_d \) とし、最小多項式をq_A(t) = (t - \l...

3.3　問題253.3.P25 (3.3.12)A =\begin{bmatrix}0 & & & & -a_0 \\1 & 0 & & & -a_1 \\ & 1 & \ddots & & \vdots \\ & & \ddots & 0...

3.3　問題243.3.P24(3.3.4)の直前の演習にある例を用いて、任意の多項式 \( p(t) \) に対して \( p(A) = 0 \) であることと \( p(B) = 0 \) であることが同値となるような、相似でない \(...

3.3　問題233.3.P23コンパニオン行列（companion matrix）は、固有値がすべて異なる場合に限り対角化可能であることを示しなさい。

3.3　問題223.3.P22\( A \in M_n \) とする。このとき \( A \) の最小多項式の次数は高々 \(\operatorname{rank} A + 1\) であることを説明せよ。さらに、この上界が特異行列に対して最...

3.3　問題213.3.P21(3.3.12)A =\begin{bmatrix}0 & & & & -a_0 \\1 & 0 & & & -a_1 \\ & 1 & \ddots & & \vdots \\ & & \ddots & 0 ...

3.3　問題203.3.P20(3.3.12)A =\begin{bmatrix}0 & & & & -a_0 \\1 & 0 & & & -a_1 \\ & 1 & \ddots & & \vdots \\ & & \ddots & 0 ...

3.3　問題193.3.P19\( A, B \in M_n \) とし、交換子 \( C = AB - BA \) を考える。(2.4.P12) で学んだように、もし \( C \) が \( A \) または \( B \) と可換であ...

3.3　問題183.3.P18ニュートンの恒等式 (2.4.18–19) は、標準的な行列解析の恒等式をコンパニオン行列に適用することで証明できる。(2.4.P3) と (2.4.P9) の記法を採用し、\( A \in M_n \) を多...

3.3　問題173.3.P17ある行列がコンパニオン行列 \( C \) と可換であるなら、その行列は \( C \) の多項式であることを説明せよ。

3.3　問題163.3.P16\( A, B, C \in M_n \) とし、多項式 \( p_1(t), p_2(t) \) が存在して \( A = p_1(C), B = p_2(C) \) であるとする。このとき \( A \) ...

3.3　問題153.3.P15任意の \(A\in M_n\) に対して集合P(A)=\{ p(A) : p(t)\ \text{は多項式} \}を考える。\(P(A)\) が \(M_n\) の部分代数（すなわち \(A\) によって生成...

3.3　問題143.3.P14(3.3.12)A =\begin{bmatrix}0 & & & & -a_0 \\1 & 0 & & & -a_1 \\ & 1 & \ddots & & \vdots \\ & & \ddots & 0 ...

3.3　問題133.3.P13任意の \(n\) 個の複素数は \(n\times n\) コンパニオン行列の固有値になり得ることを説明せよ。しかしコンパニオン行列の特異値には強い制約がある。(3.3.12)A =\begin{bmatri...

3.3　問題123.3.P12\(A,B\in M_n\) とし、\(p_A(t)=p_B(t)=q_A(t)=q_B(t)\) が成り立つと仮定する。なぜこのとき \(A\) と \(B\) は相似であるかを説明せよ。また、この事実を用い...

3.3　問題113.3.P11(3.3.12)A =\begin{bmatrix}0 & & & & -a_0 \\1 & 0 & & & -a_1 \\ & 1 & \ddots & & \vdots \\ & & \ddots & 0 ...

3.3　問題103.3.P10積分的計算により、多項式 (3.3.11)p(t)=t^n+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots+a_1 t + a_0がコンパニオン行列 (3.3.12) の特性多項式であることを直接計算で示せ。(3....

3.3　問題93.3.P9\(A\in M_5\) が特性多項式 \(p_A(t)=(t-4)^3(t+6)^2\) かつ最小多項式 \(q_A(t)=(t-4)^2(t+6)\) をもつとする。\(A\) のジョルダン標準形は何か？

3.3　問題83.3.P8\( A_i \in M_{n_i} \ (i=1, \ldots, k) \) とし、それぞれの最小多項式を \( q_{A_i}(t) \) とする。このとき、直和 \( A = A_1 \oplus \cdo...

3.3　問題7.3.P7次の行列を考える：A = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quadB = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmat...

3.3　問題63.3.P6 (3.3.P5) のアルゴリズムに従い、次の行列の最小多項式を求めよ：\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}, \quad\begin{bmatrix} 1 & ...

3.3　問題53.3.P5次のグラム–シュミットの手続きの応用により、\( A \in M_n \) の最小多項式を、\( A \) の特性多項式や固有値を知らなくても計算できることを示せ。(a) 写像 \( T : M_n \to \ma...

3.3　問題43.3.P4\( A \in M_n \) で、ある \( k \gt n \) に対して \( A^k = 0 \) であると仮定する。このとき、最小多項式の性質を用いて、ある \( r \leq n \) が存在して \(...

3.3　問題33.3.P3(3.3.10) を用いて、任意の射影行列（冪等行列）が対角化可能であることを示せ。\( A \) の最小多項式は何か。また、もし \( A \) が三冪等行列（\( A^3 = A \)）であれば何が言えるか。さ...

3.3　問題2問題文\( A \in M_n \) が異なる固有値 \( \lambda_1, \ldots, \lambda_d \) をもつとする。次のアルゴリズムにより、\( A \) の最小多項式 (3.3.7) が決定される理由を...

3.3　問題1問題\( A, B \in M_3 \) が冪零行列であるとする。このとき、\( A \) と \( B \) が相似であることと、両者が同じ最小多項式をもつことが同値であることを示せ。この命題は \( M_4 \) でも成り...

3.3問題集3.3.P1 \( A, B \in M_3 \) が冪零行列であるとする。このとき、\( A \) と \( B \) が相似であることと、両者が同じ最小多項式をもつことが同値であることを示せ。この命題は \( M_4 \) ...