3.3.P27
3.3 問題27
複素数値関数 \( y(t) \) に対する n 次線形斉次常微分方程式
y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + a_{n-2} y^{(n-2)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = 0
は、補助変数 \( x_1 = y, x_2 = y', \ldots, x_n = y^{(n-1)} \) を導入することで、一次の斉次常微分方程式系 \( x' = Ax, \, A \in M_n, \, x = [x_1 \ldots x_n]^{\top} \) に変換できる。この変換を行い、\( A^{\top} \) がコンパニオン行列 (3.3.12) であることを示しなさい。
A =
\begin{bmatrix}
0 & & & & -a_0 \\
1 & 0 & & & -a_1 \\
& 1 & \ddots & & \vdots \\
& & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\
0 & & & 1 & -a_{n-1}
\end{bmatrix} \in M_n
ヒント
補助変数 \( x_1=y, x_2=y', \ldots, x_n=y^{(n-1)} \) を導入すると、各成分の導関数は前の成分や元の微分方程式から表せる。これにより一次の線形系 \( x'=Ax \) を構成でき、その係数行列の転置がコンパニオン行列の形になる。
解答例
与えられた微分方程式 \( y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = 0 \) に対して、補助変数 \( x_1 = y,\; x_2 = y',\; \ldots,\; x_n = y^{(n-1)} \) を導入する。
このとき各成分の導関数は
x_1' = x_2,\quad
x_2' = x_3,\quad \ldots,\quad
x_{n-1}' = x_n
となる。また、元の微分方程式より
x_n' = -a_0 x_1 - a_1 x_2 - \cdots - a_{n-1} x_n
が得られる。
したがって、ベクトル \( x = [x_1 \; x_2 \; \cdots \; x_n]^{\top} \) に対して、一次の線形微分方程式系 \( x' = Ax \) が成り立ち、行列 \( A \) は
A =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
-a_0 & -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{n-1}
\end{bmatrix}
と表される。
この転置行列 \( A^{\top} \) は
A^{\top} =
\begin{bmatrix}
0 & & & & -a_0 \\
1 & 0 & & & -a_1 \\
& 1 & \ddots & & \vdots \\
& & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\
0 & & & 1 & -a_{n-1}
\end{bmatrix}
となり、これはコンパニオン行列 (3.3.12) の形である。以上より、所望の結果が得られる。
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