3.3.P21
3.3 問題21
A =
\begin{bmatrix}
0 & & & & -a_0 \\
1 & 0 & & & -a_1 \\
& 1 & \ddots & & \vdots \\
& & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\
0 & & & 1 & -a_{n-1}
\end{bmatrix} \in M_n
\( n \geq 2 \) とし、\( C_n \) を \( p(t) = t^n + 1 \) のコンパニオン行列 (3.3.12)、
\( L_n \in M_n \) を主対角線の下の成分がすべて +1 である下三角行列、
\( E_n = L_n - L_n^{\top} \)、さらに
\(\theta_k = \frac{\pi}{n}(2k+1), \, k = 0, 1, \ldots, n-1 \) とする。
以下に、\( E_n \) のスペクトル半径が \(\cot \frac{\pi}{2n}\) であることの証明を示せ。
(a) \( C_n \) の固有値は \(\lambda_k = e^{i\theta_k}, k = 0, 1, \ldots, n-1\) であり、それぞれに対応する固有ベクトルは \( x_k = [1, \lambda_k, \ldots, \lambda_k^{n-1}]^{\top} \) である。
(b) \( E_n = C_n + C_n^2 + \cdots + C_n^{n-1} \) であり、固有ベクトルは \( x_k \)、固有値は
\lambda_k + \lambda_k^2 + \cdots + \lambda_k^{n-1}
= \frac{\lambda_k - \lambda_k^n}{1 - \lambda_k}
= \frac{1 + \lambda_k}{1 - \lambda_k}
= \frac{e^{-i\theta_k/2} + e^{i\theta_k/2}}{e^{-i\theta_k/2} - e^{i\theta_k/2}}
= i \cot \frac{\theta_k}{2}
\( k = 0, 1, \ldots, n-1 \) のとき、固有値は上記のように与えられる。
(c) よって \(\rho(E_n) = \cot \frac{\pi}{2n}\) である。
ヒント
コンパニオン行列 \( C_n \) の固有値は多項式 \( p(t)=t^n+1 \) の根である。したがって \( \lambda_k = e^{i\theta_k} \)（ただし \( \theta_k = \frac{\pi}{n}(2k+1) \)）となる。
さらに \( E_n \) は \( C_n \) のべきの和で表されるため、固有ベクトルは同じであり、固有値は等比数列の和として計算できる。
解答例
まず (a) を示す。コンパニオン行列 \( C_n \) は多項式 \( p(t)=t^n+1 \) に対応するので、その固有値は \( t^n+1=0 \) の解である。
t^n = -1 = e^{i\pi}よって解は \( \lambda_k = e^{i\theta_k}, \; \theta_k = \frac{\pi}{n}(2k+1), \; k=0,1,\ldots,n-1 \) である。またコンパニオン行列の性質より、対応する固有ベクトルは \( x_k = [1,\lambda_k,\lambda_k^2,\ldots,\lambda_k^{n-1}]^{\top} \) で与えられる。
次に (b) を示す。行列 \( E_n = L_n - L_n^{\top} \) は計算により
E_n = C_n + C_n^2 + \cdots + C_n^{n-1}
と表される。このとき、\( C_n x_k = \lambda_k x_k \) であるから
E_n x_k
= (\lambda_k + \lambda_k^2 + \cdots + \lambda_k^{n-1}) x_k
となる。したがって固有値は等比数列の和として
\lambda_k + \lambda_k^2 + \cdots + \lambda_k^{n-1}
= \frac{\lambda_k - \lambda_k^n}{1 - \lambda_k}
= \frac{\lambda_k + 1}{1 - \lambda_k}
ここで \( \lambda_k = e^{i\theta_k} \) を用いると
\frac{1 + \lambda_k}{1 - \lambda_k}
= \frac{e^{-i\theta_k/2} + e^{i\theta_k/2}}{e^{-i\theta_k/2} - e^{i\theta_k/2}}
= i \cot \frac{\theta_k}{2}
となる。よって固有値は \( i \cot \frac{\theta_k}{2} \) である。
最後に (c) を示す。スペクトル半径は固有値の絶対値の最大であるから
\rho(E_n)
= \max_{0 \le k \le n-1} \left| \cot \frac{\theta_k}{2} \right|
ここで \( \theta_k = \frac{\pi}{n}(2k+1) \) より、最小の角度は \( k=0 \) のときであり
\frac{\theta_0}{2} = \frac{\pi}{2n}
したがって最大値は \( \cot \frac{\pi}{2n} \) となる。以上より \( \rho(E_n) = \cot \frac{\pi}{2n} \) である。
行列解析の総本山
総本山の目次📚
記号の意味🔎
コメント