[行列解析3.3.P26]最小多項式と固有空間の構造

3.3.P26

3.3　問題26

これは (2.4.P16) の一般化である。\( A \in M_n \) の異なる固有値を \( \lambda_1, \ldots, \lambda_d \) とし、最小多項式を

q_A(t) = (t - \lambda_1)^{\mu_1} \cdots (t - \lambda_d)^{\mu_d}

とする。各 \( i = 1, \ldots, d \) に対し、\( q_i(t) = \tfrac{q_A(t)}{t - \lambda_i} \) とし、\( \nu_i \) を \( A \) のジョルダン標準形におけるブロック \( J_{\mu_i}(\lambda_i) \) の個数とする。このとき以下を示しなさい。

(a) 各 \( i \) について、\( q_i(A) \neq 0 \) であり、その非零列は \( A \) の固有値 \( \lambda_i \) に対応する固有ベクトルであり、非零行は \( \lambda_i \) に対応する左固有ベクトルの共役である。

(b) 各 \( i \) について、\( q_i(A) = X_i Y_i^* \) が成り立ち、ここで \( X_i, Y_i \in M_{n, \nu_i} \) は階数 \( \nu_i \) を持ち、\( AX_i = \lambda_i X_i \)、\( Y_i^* A = \lambda_i Y_i^* \) が成り立つ。

(c) \(\operatorname{rank} q_i(A) = \nu_i, \, i = 1, \ldots, d\)。

(d) ある \( i \) に対して \(\nu_i = 1\) ならば、\(\operatorname{rank} p(A) = 1\) となる多項式 \( p(t) \) が存在する。

(e) \( A \) が nonderogatory（最小多項式の次数が \( n \) に等しい場合）、\(\operatorname{rank} p(A) = 1\) となる多項式 \( p(t) \) が存在する。

(f) (d) の主張の逆もまた正しい。これを証明できるか？

ヒント

ジョルダン標準形において、\( q_A(A)=0 \) であり、各因子を1つ除いた多項式 \( q_i(t) \) を作用させると、対応する固有値のジョルダンブロックのみが残る。これにより \( q_i(A) \) の像と核の構造が明確になる。

解答例

\( A \) をジョルダン標準形に相似変換して議論する。すなわち、ある正則行列 \( S \) に対して \( A = SJS^{-1} \) とし、\( J \) はジョルダン標準形である。

(a) を示す。多項式 \( q_i(t) \) は \( (t-\lambda_i) \) を1つだけ除いた形であるため、\( J \) に作用させると、固有値 \( \lambda_i \) に対応する最大サイズのジョルダンブロックの最上段のみが非零となる。

したがって \( q_i(A) = S q_i(J) S^{-1} \neq 0 \) であり、その列は \( \lambda_i \) に対応する固有ベクトルとなる。また行についても同様に左固有ベクトルを与える。

(b) を示す。\( q_i(A) \) の像は \( \lambda_i \) に対応する固有空間であり、その次元はジョルダンブロックの個数 \( \nu_i \) に等しい。したがって、階数 \( \nu_i \) の行列 \( X_i, Y_i \) を用いて

q_i(A) = X_i Y_i^*

と分解できる。さらに像が固有空間であることから \( AX_i = \lambda_i X_i \)、\( Y_i^* A = \lambda_i Y_i^* \) が成り立つ。

(c) は (b) より明らかである。すなわち、\( q_i(A) \) の像の次元は \( \nu_i \) であるから

\operatorname{rank} q_i(A) = \nu_i

が成り立つ。

(d) を示す。ある \( i \) に対して \( \nu_i = 1 \) とする。このとき \( q_i(A) \) の階数は1であるから、\( p(t)=q_i(t) \) とすれば \( \operatorname{rank} p(A) = 1 \) となる。

(e) を示す。\( A \) が nonderogatory であるとは、各固有値に対してジョルダンブロックが1つであること、すなわちすべての \( \nu_i = 1 \) を意味する。したがって任意の \( i \) に対して (d) を適用でき、ある多項式 \( p(t) \) により \( \operatorname{rank} p(A) = 1 \) となる。

(f) を示す。ある多項式 \( p(t) \) に対して \( \operatorname{rank} p(A) = 1 \) とする。このとき \( p(A) \) の像は1次元であり、ある固有値 \( \lambda_i \) に対応する固有空間に含まれる。

もし \( \nu_i \geq 2 \) であれば、その固有空間の次元は少なくとも2であり、対応する多項式作用によって得られる像の次元もそれ以上となる。したがって階数1となるためには \( \nu_i = 1 \) でなければならない。

以上より、(d) の逆も成立する。