3.3.P5
3.3 問題5
次のグラム–シュミットの手続きの応用により、\( A \in M_n \) の最小多項式を、\( A \) の特性多項式や固有値を知らなくても計算できることを示せ。
(a) 写像 \( T : M_n \to \mathbb{C}^{n^2} \) を次のように定義する。任意の \( A \in M_n \) を、その列ベクトルごとに \( A = [a_1 \ \cdots \ a_n] \) と分割し、\( T(A) \) を次のベクトルとする：最初の \( n \) 成分は第1列 \( a_1 \) の成分、次の \( n \) 成分は第2列 \( a_2 \) の成分、以下同様に並べた長さ \( n^2 \) のベクトル。このとき、\( T \) がベクトル空間 \( M_n \) と \( \mathbb{C}^{n^2} \) の同型写像（線形、単射、全射）であることを示せ。
(b) 次のベクトルを考える：
v_0 = T(I), \quad v_1 = T(A), \quad v_2 = T(A^2), \ \ldots, \ v_k = T(A^k), \ \ldots
\( k = 0, 1, 2, \ldots, n \) に対して \( v_0, v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{C}^{n^2} \) を得る。Cayley–Hamilton の定理を用いて、これらのベクトルが一次従属であることを示せ。
(c) ベクトル列 \( v_0, v_1, \ldots, v_n \) にグラム–シュミットの正規直交化を適用し、最初にゼロベクトルが現れるまで続けよ。なぜ必ずゼロベクトルが現れるのかを説明せよ。
(d) もしグラム–シュミット過程において、最初のゼロベクトルが \( k \) 番目で現れるならば、\( k-1 \) が \( A \) の最小多項式の次数であることを論じよ。
(e) グラム–シュミット過程の \( k \) 番目の段階で、次が得られるとする：
\alpha_0 v_0 + \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_{k-1} v_{k-1} = 0
このとき、
T^{-1}(\alpha_0 v_0 + \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_{k-1} v_{k-1})
= \alpha_0 I + \alpha_1 A + \alpha_2 A^2 + \cdots + \alpha_{k-1} A^{k-1} = 0
となる。したがって、最小多項式は
q_A(t) = \frac{\alpha_{k-1} t^{k-1} + \cdots + \alpha_2 t^2 + \alpha_1 t + \alpha_0}{\alpha_{k-1}}
である。なぜ \(\alpha_{k-1} \neq 0\) なのかを説明せよ。
ヒント
行列空間 \( M_n \) は次元 \( n^2 \) のベクトル空間であり、列を並べてベクトルにすることで \( \mathbb{C}^{n^2} \) と同一視できる。
\( v_k=T(A^k) \) とすると、\( v_0,v_1,\ldots,v_n \) は \( n+1 \) 個のベクトルであり、Cayley–Hamilton の定理により一次従属になる。グラム–シュミット法ではこの一次従属が「ゼロベクトルの出現」として現れる。
最初にゼロになる段階が最小多項式の次数を決める。また、そのときの線形結合係数から最小多項式が構成できる。
解答例
(a) 任意の \( A\in M_n \) を列ベクトルで \( A=[a_1\ \cdots\ a_n] \) と表すとき、写像 \( T \) は 各列を順に並べた長さ \( n^2 \) のベクトルを対応させる。
このとき \( T \) は成分ごとの写像であるから線形であり、また \( T(A)=0 \) ならばすべての列がゼロなので \( A=0 \) となり単射である。
さらに任意のベクトルは適当な行列の列として表せるので全射である。よって \( T \) は同型写像である。
(b) \( v_k=T(A^k) \) とおくと、Cayley–Hamilton の定理より
A^n+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots+c_1A+c_0I=0
が成り立つ。これに \( T \) を作用させると
v_n+c_{n-1}v_{n-1}+\cdots+c_1v_1+c_0v_0=0
となり、\( v_0,\ldots,v_n \) は一次従属である。
(c) 一次従属なベクトル列にグラム–シュミットの正規直交化を施すと、ある段階で新しいベクトルが既存の張る空間に含まれるため、直交成分がゼロになる。
したがって必ずゼロベクトルが現れる。
(d) 最初にゼロベクトルが \( k \) 番目で現れるとは、\( v_0,\ldots,v_{k-1} \) は一次独立であり、\( v_k \) はそれらの線形結合で表されることを意味する。
したがって \( A^k \) は \( I,A,\ldots,A^{k-1} \) の線形結合で表され、次数 \( k \) 以下の多項式で \( A \) を消すことができる。
またそれより低い次数では一次独立であるため消えないので、最小多項式の次数は \( k-1 \) である。
(e) グラム–シュミット過程により
\alpha_0 v_0+\alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_{k-1}v_{k-1}=0
が得られるとする。このとき \( T^{-1} \) を作用させると
\alpha_0 I+\alpha_1 A+\cdots+\alpha_{k-1}A^{k-1}=0
となる。
ここで \( \alpha_{k-1}=0 \) であるとすると、この関係は \( v_0,\ldots,v_{k-2} \) の間の一次関係となるが、これは最初にゼロベクトルが現れたという仮定に反する。
したがって \( \alpha_{k-1}\neq 0 \) であり、これにより最高次係数を1に正規化して最小多項式
q_A(t)=\frac{\alpha_{k-1}t^{k-1}+\cdots+\alpha_1 t+\alpha_0}{\alpha_{k-1}}
が得られる。
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