[行列解析3.3.P20]コンパニオン行列と固有ベクトルの性質

3.3.P20

3.3　問題20

(3.3.12)

A = \begin{bmatrix} 0 & & & & -a_0 \\ 1 & 0 & & & -a_1 \\ & 1 & \ddots & & \vdots \\ & & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\ 0 & & & 1 & -a_{n-1} \end{bmatrix} \in M_n

\( A, B \in M_n \) をコンパニオン行列 (3.3.12)、\(\lambda \in \mathbb{C}\) とする。

(a) \(\lambda\) が \( A \) の固有値であるのは、\( x_\lambda = [1, \lambda, \lambda^2, \ldots, \lambda^{n-1}]^{\top} \) が \( A^{\top} \) の固有ベクトルであるとき、かつそのときに限ることを示せ。

(b) \(\lambda\) が \( A \) の固有値であるなら、\(\lambda\) に対応する \( A^{\top} \) の固有ベクトルはすべて \( x_\lambda \) のスカラー倍であることを示せ。したがって、\( A \) の各固有値の幾何的重複度は 1 である。

(c) \( A^{\top} \) と \( B^{\top} \) が共通の固有ベクトルを持つのは、共通の固有値を持つとき、かつそのときに限ることを説明せよ。

(d) もし \( A \) が \( B \) と可換であるなら、\( A, B \) は共通の固有値を持たねばならないことを示せ。

ヒント

コンパニオン行列の転置 \( A^{\top} \) の作用を具体的に計算すると、ベクトル \( x_\lambda = [1,\lambda,\ldots,\lambda^{n-1}]^{\top} \) に対して漸化式が現れる。

この関係が多項式 \( p(\lambda)=0 \) と一致することに注目する。

また、固有ベクトルの一意性は連立一次方程式の自由度から分かる。

解答例

(a) ベクトル \( x_\lambda = [1,\lambda,\lambda^2,\ldots,\lambda^{n-1}]^{\top} \) に対して \( A^{\top}x_\lambda \) を計算する。

A^{\top} x_\lambda = \begin{bmatrix} 0 & 1 & & & 0 \\ & 0 & \ddots & & \\ & & \ddots & 1 & \\ & & & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & \cdots & -a_{n-2} & -a_{n-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ \lambda \\ \lambda^2 \\ \vdots \\ \lambda^{n-1} \end{bmatrix}

上から順に計算すると、第 \( k \) 成分（\( k=1,\ldots,n-1 \)）は \( \lambda^k \) となり、最後の成分は \( -a_0 - a_1\lambda - \cdots - a_{n-1}\lambda^{n-1} \) となる。

したがって

A^{\top} x_\lambda = \begin{bmatrix} \lambda \\ \lambda^2 \\ \vdots \\ \lambda^{n-1} \\ -a_0 - a_1\lambda - \cdots - a_{n-1}\lambda^{n-1} \end{bmatrix}

ここで \( A^{\top}x_\lambda = \lambda x_\lambda \) が成り立つためには、最後の成分が \( \lambda^n \) に等しい必要がある。すなわち \( \lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + a_0 = 0 \) が必要十分である。これは \( \lambda \) が \( A \) の固有値であることと同値である。

(b) 上の関係より、固有ベクトル \( v = [v_1,\ldots,v_n]^{\top} \) に対しては \( v_{k+1} = \lambda v_k \)（\( k=1,\ldots,n-1 \)）が成り立つ。よって \( v_k = \lambda^{k-1} v_1 \) となるため、任意の固有ベクトルは \( x_\lambda \) のスカラー倍である。

したがって、各固有値に対する固有空間の次元は 1、すなわち幾何的重複度は 1 である。

(c) (a)(b) より、固有値 \( \lambda \) に対応する固有ベクトルは一意的に \( x_\lambda \)（のスカラー倍）で与えられる。したがって、\( A^{\top} \) と \( B^{\top} \) が共通の固有ベクトルを持つことは、同じ \( \lambda \) に対して

A^{\top} x_\lambda = \lambda x_\lambda, \quad B^{\top} x_\lambda = \lambda x_\lambda

が成り立つこと、すなわち共通の固有値を持つことと同値である。

(d) \( A \) と \( B \) が可換であるとする。すると \( A^{\top} \) と \( B^{\top} \) も可換である。一般に可換な行列は共通の固有ベクトルを持つので、ある \( x \neq 0 \) と \( \lambda, \mu \) が存在して \( A^{\top}x=\lambda x, B^{\top}x=\mu x \) が成り立つ。

(c) より、このとき対応するベクトルは \( x_\lambda \) の形でなければならないから、\( \lambda \) は \( A \) と \( B \) の共通固有値である。よって \( A \) と \( B \) は共通の固有値を持つ。