[行列解析3.3.P11]コンパニオン行列の変形と多項式性質

3.3.P11

3.3　問題11

(3.3.12)

A = \begin{bmatrix} 0 & & & & -a_0 \\ 1 & 0 & & & -a_1 \\ & 1 & \ddots & & \vdots \\ & & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\ 0 & & & 1 & -a_{n-1} \end{bmatrix} \in M_n

\(A\in M_n\) を多項式 \(p(t)\) のコンパニオン行列 (3.3.12) とする。

反転行列 \(K_n\)（エントリを逆順に並べる反転行列）を定め、\(A_2=K_n A K_n\)、\(A_3=A^T\)、\(A_4=K_n A^T K_n\) と置く。

(a) \(A_2,A_3,A_4\) を (3.3.12) のような明示的配列で書け。

(b) なぜ各 \(A_2,A_3,A_4\) に対して \(p(t)\) が最小多項式かつ特性多項式になるのか説明せよ。

これらは文献でコンパニオン行列の別定義として扱われることがある。

ヒント

反転行列 \( K_n \) は基底の順序を逆にする行列であり、相似変換 \( K_n A K_n \) は行列の成分配置を反転させる。

転置 \( A^{\top} \) は主対角線に関する対称移動である。相似変換は特性多項式と最小多項式を不変に保つことを用いる。

解答例

(a) まず反転行列 \( K_n \) は、標準基底の順序を逆に並べ替える行列である。このとき \( A_2 = K_n A K_n \) は次の形になる。

A_2 = \begin{bmatrix} -a_{n-1} & 1 & & & 0 \\ -a_{n-2} & 0 & 1 & & \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \\ -a_1 & & & 0 & 1 \\ -a_0 & & & & 0 \end{bmatrix}

次に転置行列 \( A_3 = A^{\top} \) は、

A_3 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & & & 0 \\ & 0 & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & \cdots & -a_{n-2} & -a_{n-1} \end{bmatrix}

さらに \( A_4 = K_n A^{\top} K_n \) は、

A_4 = \begin{bmatrix} 0 & & & & -a_0 \\ 1 & 0 & & & -a_1 \\ & \ddots & \ddots & & \vdots \\ & & 1 & 0 & -a_{n-2} \\ 0 & & & 1 & -a_{n-1} \end{bmatrix}

(b) 行列 \( A_2 = K_n A K_n \) および \( A_4 = K_n A^{\top} K_n \) は、いずれも \( A \) や \( A^{\top} \) と相似である。したがって、これらはすべて同じ特性多項式をもつ。また転置行列 \( A^{\top} \) も \( A \) と同じ特性多項式をもつ。

さらにコンパニオン行列は巡回ベクトルをもつため、その最小多項式は特性多項式と一致する。相似変換および転置は最小多項式も保存するので、\( A_2, A_3, A_4 \) に対しても最小多項式は \( p(t) \) となる。

以上より、すべての行列 \( A_2, A_3, A_4 \) は特性多項式および最小多項式として \( p(t) \) をもつ。