4.エルミート行列、対称行列、合同行列

[行列解析4.2.2]定理(レイリー)

4.2.2定理 4.2.2(レイリー). \(A \in M_n\) がエルミート行列であり、その固有値が (4.2.1) のように順序付けられているとする。整数 \(i_1, \ldots, i_k\) が \(1 \leq i_1 \l...
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[行列解析4.2]変分的特徴づけと部分空間の交わり

この節の目次4.2.2 定理4.2 変分的特徴づけと部分空間の交わりエルミート行列 \(A \in M_n\) の固有値は実数であるため、常に代数的に非減少順に並べるという慣習を採用する:(4.2.1)\lambda_{\min} = \l...
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[行列解析4.1.P30]

4.1.問題304.1.P30 \(A \in M_n\) がエルミートで \(\mathrm{rank}\,A = r > 0\) とする。\(A\) は rank-principal であるため、サイズ \(r\) の非零主小行列式を持...
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[行列解析4.1.P29]

4.1.問題294.1.P29\(A \in M_n\) がエルミートまたは実対称行列であるとする。\(A\) が不定(indefinite)であることは、少なくとも1つの正の固有値と少なくとも1つの負の固有値を持つことと同値である理由を説...
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[行列解析4.1.P28]

4.1.問題284.1.P28\(A \in M_n\) が \(B \oplus C\) にユニタリ相似である場合、ここで \(B \in M_k\)、\(C \in M_{n−k}\)、\(1 \le k \le n−1\) とする。こ...
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[行列解析4.1.P27]

4.1.問題274.1.P27\(A, P \in M_n\) とし、\(P\) が \(0\) でも \(I\) でもないエルミート射影であるとする。このとき、\(A\) が \(P\) と可換であることと、\(A\) があるユニタリ相似...
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[行列解析4.1.P26]

4.1.問題264.1.P26エルミート行列 \(P \in M_n\) が射影であることと、あるユニタリ行列 \(U \in M_n\) が存在してP = U (I_k \oplus 0_{n-k}) U^{*}, \quad 0 \le...
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[行列解析4.1.P25]

4.1.問題254.1.P25\(A \in M_n\) をエルミート行列とし、\(r \in \{1, \ldots, n\}\) とする。このとき、複合行列 \(C_r(A)\) がエルミートであることを説明せよ。さらに、\(A\) が...
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[行列解析4.1.P24]

4.1.問題244.1.P24 \(A \in M_n\) をエルミート行列とする。このとき次を説明せよ:(a) \(\operatorname{adj}(A)\) はエルミートである。(b) \(A\) が正半定値なら \(\operat...
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[行列解析4.1.P23]

4.1.問題234.1.P23\(A, B \in M_n\) がエルミートであるとする。次を示せ:(a) \(AB\) がエルミートであることと、\(A\) が \(B\) と可換であることは同値である。(b) \(\operatorna...
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[行列解析4.1.P22]

4.1.問題224.1.P22エルミート行列 \(A\) の正半定部分 \(A^{+}\) の定義 (4.1.12) において、対角因子 \(\Lambda^{+}\) は一意に定まるが、ユニタリ因子 \(U\) は一意ではない。その理由を...
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[行列解析4.1.P21]

4.1.問題214.1.P21\(n \geq 2\) とし、\(x, y \in \mathbb{C}^n\)、および \(z_1, \ldots, z_n \in \mathbb{C}\) を与える。次を考える:エルミート行列 \(A ...
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[行列解析4.1.P20]

4.1.問題204.1.P20\(A \in M_n\) が射影であるとする。このとき、\(A\) がエルミート行列であることと、\(AA^{*}A = A\) が成り立つことは同値であることを示せ。
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[行列解析4.1.P19]

4.1.問題194.1.P19\(A \in M_n\) が射影行列 \(A^2 = A\) の場合、\(A\) がエルミートであるとき、Hermitian projection と呼ぶ。さらに、\(A\) の像が零空間に直交している場合、...
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[行列解析4.1.P18]

4.1.問題184.1.P18\(A \in M_n\) が与えられたとき、A がエルミートであることは \(A^2 = A^*A\) と同値であることを示せ。
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[行列解析4.1.P17]

4.1.問題174.1.P17\(A = \in M_2\) がエルミートで、固有値が \(\lambda_1, \lambda_2\) のとき、\((\lambda_1 - \lambda_2)^2 = (a_{11} - a_{22})...
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[行列解析4.1.P16]

4.1.問題164.1.P16任意の \(s, t \in \mathbb{R}\) に対して、\(\max\{|s|, |t|\} = \frac{1}{2}(|s+t| + |s-t|)\) であることを示せ。任意の \(A \in M...
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[行列解析4.1.P15]

4.1.問題154.1.P15\(A \in M_n\) がエルミート行列に相似であることは、対角化可能であり、固有値が実数であることと同値である理由を説明せよ。追加の同値条件については (7.6.P1) を参照。
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[行列解析4.1.P14]

4.1.問題144.1.P14ある \(\theta \in \mathbb{R}\) に対して \(A = e^{i\theta} A^*\) が成り立つことと、\(e^{-i\theta/2} A\) がエルミートであることは同値である...
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[行列解析4.1.P13]

4.1.問題134.1.P13\(A \in M_n\) が非零であるとする。(a) \(\mathrm{rank}\,A \ge \frac{|\mathrm{tr}\,A|^2}{\mathrm{tr}\,A^*A}\) が成り立ち、等...
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[行列解析4.1.P12]

4.1.問題124.1.P12\(A \in M_n\) が与えられたとき、\(A\) がエルミートならば、\(\mathrm{rank}\,A\) は非零固有値の数に等しいことを説明せよ。ただし、非エルミート行列では必ずしも成り立たない。...
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[行列解析4.1.P11]

4.1.問題114.1.P11\(A, B \in M_n\) がエルミートのとき、なぜ \(AB - BA\) が歪エルミートとなるかを説明し、(4.1.P10) から \(\mathrm{tr}(AB)^2 \le \mathrm{tr...
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[行列解析4.1.P10]

4.1.問題104.1.P10\(A \in M_n\) がエルミートであることは \(iA\) が歪エルミートであることと同値であることを示せ。歪エルミート行列 \(B \in M_n\) について、(a) \(B\) の固有値は純虚数で...
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[行列解析4.1.P9]

4.1.問題94.1.P9\(A \in M_n\) は生成する半双線形形式の絶対値によってほぼ決定されることを示せ。すなわち、\(A, B \in M_n\) が与えられ、すべての \(x, y \in \mathbb{C}^n\) につ...
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[行列解析4.1.P8]

4.1.問題84.1.P8行列 \(A = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}\) を考え、すべての \(x \in \mathbb{C}^2\) について \(|x^*Ax| = |x^*A...
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[行列解析4.1.P7]

4.1.問題74.1.P7\(A, B \in M_n(F)\) が与えられ、\(n \ge 2\)、\(F = \mathbb{R}\) または \(\mathbb{C}\) のとき、すべての \(x \in F^n\) に対して \(x...
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[行列解析4.1.P6]

4.1.問題64.1.P6\(A = , B = \in M_n\) が与えられたとき、(a) すべての \(x \in \mathbb{C}^n\) について \(x^*Ax = x^*Bx\) ならば \(A = B\) であることを示...
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[行列解析4.1.P5]

4.1.問題54.1.P5行列がすべて実固有値をもつことを、エルミート行列に相似であることから示せる場合がある。\(A = \in M_n(R)\) を三重対角行列とする。すべての \(i = 1, 2, \dots, n-1\) について...
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[行列解析4.1.P4]

4.1.問題44.1.P4(4.1.1) の後の1–9の次の主張を確認せよ。1. \(A + A^*\)、\(AA^*\)、および \(A^*A\) はエルミート行列である。2. \(A\) がエルミートであれば、全ての \(k = 1, ...
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[行列解析4.1.P3]

4.1.問題34.1.P3\(A, B \in M_n\) がエルミートのとき、A と B が相似であることとユニタリ相似であることは同値であることを示せ。