2.7.1定理 2.7.1（CS分解）．整数 \( p, q, n \) が与えられていて、\( 1 \lt p \leq q \lt n \)、かつ \( p+q=n \) とする。次のようなユニタリ行列U =\begin{bmatrix...

2.6.問題402.6.P40(2.4.5.1) の表記を用い、\(T\) と \(T'\) がユニタリ合同であるとする。(a) 各 \(i,j = 1, \ldots, d\) に対して、\(T_{ij}\) と \(T'_{ij}\) ...

2.6.問題392.6.P39\(A \in M_n\) が共反転行列 (coninvolutory) で、すなわち \(A\) が正則で \(A = \bar A^{-1}\) であるとする。1 でない \(A\) の特異値が互いに逆数の...

2.6.問題382.6.P38\(A \in M_n\) が正則で、\(\sigma_n\) が \(A + A^{-*}\) の最小特異値であるとする。\(\sigma_n \ge 2\) を示せ。また、等号が成立する場合について考察せよ...

2.6.問題372.6.P37\(A \in M_n\) が異なる特異値を持つとする。\(A = V \Sigma W^*\) および \(A = \hat V \Sigma \hat W^*\) が特異値分解である。(a) \(A\) が...

2.6.問題362.6.P36\(A \in M_n\) がランク r を持ち、正の異なる特異値を \(s_1, \ldots, s_d\)、それぞれの重複度を \(n_1, \ldots, n_d\) とし、特異値分解 \(A = V \...

2.6.問題352.6.P35前問の表記を用いて次を示せ：\sum_{i=1}^{n} |\lambda_i(A)|^2 \\ \le \sqrt{ (\mathrm{tr} AA^* - \frac{1}{n} |\mathrm{tr} ...

2.6.問題342.6.P34\(A \in M_n\) および \(A^2\) の固有値をそれぞれ \(\lambda_1(A), \ldots, \lambda_n(A)\) および \(\lambda_1(A^2), \ldots, ...

2.6.問題332.6.P33\(A \in M_n\) の順序付き特異値を \(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_n\) とし、\(r \in \{1, \ldots, n\}\) とする。複合行列 \(C_r...

2.6.問題322.6.P32\(A \in M_n\) とし、\begin{pmatrix} 0 & A \\ A^T & 0 \end{pmatrix} \in M_{2n}とする。もし \(\sigma_1, \ldots, \sig...

2.6.問題312.6.P31\(A \in M_{m,n}\) とする。(a) 特異値分解 \(A = V \Sigma W^*\) を用いて、エルミート行列\begin{pmatrix} 0 & A \\ A^* & 0 \end{pm...

2.6.問題302.6.P30特異値分解を用いて、複素行列に対する (0.4.6(f)) を確認せよ：\(A \in M_{m,n}\) のランクが r であることは、非特異行列 \(S \in M_m\) および \(T \in M_n\...

2.6.問題292.6.P29\(x \in \mathbb{C}^n\) が \(A \in M_n\) の正規固有ベクトルであり、対応する固有値を \(\lambda\) とするとき、\(|\lambda|\) が \(A\) の特異値...

2.6.問題282.6.P28\(A \in M_n\) が EP 行列であるとは、\(\mathrm{range}(A)\) と \(\mathrm{range}(A^*)\) が同じであることを意味する。すべての正規行列は EP 行列で...

2.6.問題272.6.P27\(A \in M_n\) が斜対称行列であるとする。もし \(\mathrm{rank}(A) \le 1\) なら、なぜ \(A = 0\) となるか説明せよ。

2.6.問題262.6.P26\(A \in M_n\)、\(\mathrm{rank}(A) = r \lt n\) とし、(2.6.9) の表現を考える。(a) \(A\) が正規であることと、\(L = 0\) かつ \(\Sigma...

2.6.問題252.6.P25 \(A \in M_n\) で、\(\mathrm{rank}(A) = r \lt n\) とする。正の特異値 \(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_r > 0\) を \(\S...

2.6.問題242.6.P24\(A \in M_n\) が与えられており、\(\mathrm{rank}(A) = r \ge 1\) で、かつ共役自己消滅 (conjugate self-annihilating) すなわち \(A \...

2.6.問題232.6.P23\(A \in M_n\) が与えられており、\(\mathrm{rank}(A) = r \ge 1\) で、かつ自己消滅 (self-annihilating)、すなわち \(A^2 = 0\) であるとす...

2.6.問題222.6.P22\(A, B \in M_n\) が対称行列であるとする。(a) \(A \bar B\) がエルミートであることと、ユニタリ行列 \(U \in M_n\) が存在して \(A = U \Sigma U^T\...

2.6.問題212.6.P21\(A, B \in M_n\) が対称行列であるとする。\(A \bar B\) が正規であることと、ユニタリ行列 \(U \in M_n\) が存在して \(A = U \Sigma U^T\)、\(B =...

2.6.問題202.6.P20\(A \in M_n\) が対称行列であるとする。もし \(A\) が正則の場合、特別な特異値分解 (2.6.6(a)) が知られている。この分解が \(A\) が特異行列であっても有効であることを示すための...

2.6.問題192.6.P19\(U = \begin{pmatrix} U_{11} & U_{12} \\ U_{21} & U_{22} \end{pmatrix} \in M_{k+\ell}\) をユニタリ行列とし、\(U_{11...

2.6.問題182.6.P18 \(A \in M_n\) が射影行列で、\(\mathrm{rank}(A) = r\) とする。(a) \(A\) がユニタリ合同で\begin{pmatrix} I_r & X \\ 0 & 0_{n-...

2.6.問題172.6.P17\(A \in M_{n,m}\) を与える。特異値分解を用いて、\(\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(AA^*) = \mathrm{rank}(A^*A)\) が成り立つこと...

2.6.問題162.6.P16\(U, V \in M_n\) がユニタリである。(a) 常にユニタリ行列 \(X, Y \in M_n\) と対角ユニタリ \(D \in M_n\) が存在して \(U = X D Y\)、\(V = Y...

2.6.問題152.6.P15\(A = \in M_n\) の固有値を \(|\lambda_1| \ge \cdots \ge |\lambda_n|\) の順に、特異値を \(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigm...

2.6.問題142.6.P14\(A \in M_n\) を与える。(a) \(A\) が正規であり、スペクトル分解 \(A = U \Lambda U^*\) があり、\(U\) はユニタリ、\(\Lambda = \mathrm{dia...

2.6.問題132.6.P13\(A \in M_n\) とし、\(A = V \Sigma W^*\) を特異値分解とする。(a) \(A\) がユニタリであることと \(\Sigma = I\) であることは同値であることを示せ。(b)...