[行列解析3.3.P6]グラムシュミット法による最小多項式の決定例

3.3.P6

3.3　問題6

(3.3.P5) のアルゴリズムに従い、次の行列の最小多項式を求めよ：

\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

（１）\( A=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \) とすると、

A^2=\begin{bmatrix}1&0 \\ 3&4 \end{bmatrix}

列ごとに並べる写像 ( T ) により，

v_0 = T(I) = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} , \quad v_1 = T(A) = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad v_2 = T(A^2) = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \\ 4 \end{bmatrix}

\(u_0\)を求める

u_0=v_0=\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}

\(u_1\)を求める

u_1=v_1-\frac{\langle v_1,u_0\rangle}{\langle u_0,u_0\rangle}u_0 \\ \langle v_1,u_0\rangle=3,\quad \langle u_0,u_0\rangle=2 \\ u_1=\begin{bmatrix}1\\1\\0\\2\end{bmatrix} -\frac{3}{2}\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-\frac{1}{2}\\1\\0\\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}

\(u_2\)を求める

u_2=v_2-\frac{\langle v_2,u_0\rangle}{\langle u_0,u_0\rangle}u_0 -\frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}u_1 を計算する。\\まず \langle v_2,u_0\rangle=1\cdot1+3\cdot0+0\cdot0+4\cdot1=5\\ \frac{\langle v_2,u_0\rangle}{\langle u_0,u_0\rangle}=\frac{5}{2} \\ 次に \langle v_2,u_1\rangle =1\left(-\frac{1}{2}\right)+3\cdot1+0+4\left(\frac{1}{2}\right) =-\frac{1}{2}+3+2=\frac{9}{2} \\ \langle u_1,u_1\rangle=\frac{1}{4}+1+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}\\ \frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle} =\frac{9/2}{3/2}=3 \\ したがって u_2 =\begin{bmatrix}1\\3\\0\\4\end{bmatrix} -\frac{5}{2}\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix} -3\begin{bmatrix}-\frac{1}{2}\\1\\0\\ \frac{1}{2}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1\\3\\0\\4\end{bmatrix} -\begin{bmatrix}\frac{5}{2}\\0\\0\\ \frac{5}{2}\end{bmatrix} -\begin{bmatrix}-\frac{3}{2}\\3\\0\\ \frac{3}{2}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\\ \end{bmatrix}

したがって、この段階で最初のゼロベクトルが現れる。

0=u_2=v_2-\frac{\langle v_2,u_0\rangle}{\langle u_0,u_0\rangle}u_0 -\frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}u_1\\ 0=v_2-\frac{5}{2}v_0-3(v_1-\frac{3}{2}v_0)\\ 0=v_2-3v_1+2v_0\\ 0=\begin{bmatrix}1\\3\\0\\4\end{bmatrix} -3\begin{bmatrix}1\\1\\0\\2\end{bmatrix} +2\begin{bmatrix}1\\0\\0\\ 1\end{bmatrix} \\ 0=\begin{bmatrix}1&0\\3&4\end{bmatrix} -3\begin{bmatrix}1&0\\1&2\end{bmatrix} +2\begin{bmatrix}1&0\\0& 1\end{bmatrix} \\ 0=A^2-3A+2I

したがって最小多項式は\((t−1)(t−2)\) である。

（２）\( A=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \) の場合を考える。

例（１）と同様に、列ベクトル化写像 \( T \) を用いて \( v_0=T(I), v_1=T(A), v_2=T(A^2) \) を作り、グラムシュミットの直交化を行う。途中で零ベクトルが現れれば、そのときの線形関係から最小多項式が得られる。

まず \( A^2=\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix} \) である。

列ベクトル化により

v_0 = \begin{bmatrix} 1\\0\\0\\1 \end{bmatrix},\quad v_1 = \begin{bmatrix} 1\\1\\0\\1 \end{bmatrix},\quad v_2 = \begin{bmatrix} 1\\2\\0\\1 \end{bmatrix}

まず \( u_0=v_0 \) とする。

次に

\langle v_1,u_0\rangle = 1\cdot1+1\cdot0+0\cdot0+1\cdot1=2,\quad \langle u_0,u_0\rangle=2

より

u_1=v_1-\frac{\langle v_1,u_0\rangle}{\langle u_0,u_0\rangle}u_0 = \begin{bmatrix} 1\\1\\0\\1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1\\0\\0\\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\1\\0\\0 \end{bmatrix}

さらに

\langle v_2,u_0\rangle=1+0+0+1=2,\quad \frac{\langle v_2,u_0\rangle}{\langle u_0,u_0\rangle}=1

\langle v_2,u_1\rangle=1\cdot0+2\cdot1+0+1\cdot0=2,\quad \langle u_1,u_1\rangle=1

したがって

u_2 = v_2-u_0-2u_1 = \begin{bmatrix} 1\\2\\0\\1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1\\0\\0\\1 \end{bmatrix} - 2\begin{bmatrix} 0\\1\\0\\0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0\\0\\0 \end{bmatrix}

よって

0=v_2-v_0-2(v_1-v_0)=v_2-2v_1+v_0

すなわち

A^2-2A+I=0

となるので、最小多項式は \( q_A(t)=(t-1)^2 \) である。

（３）\( A=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix} \) の場合を考える。

このとき \( A=I \) であるから

v_0=v_1=v_2= \begin{bmatrix} 1\\0\\0\\1 \end{bmatrix}

となる。

したがって

u_0=v_0,\quad u_1=v_1-\frac{\langle v_1,u_0\rangle}{\langle u_0,u_0\rangle}u_0=0

この段階で零ベクトルが現れるので

0=v_1-v_0

すなわち

A-I=0

よって最小多項式は \( q_A(t)=t-1 \) である。