3.標準形と三角因子分解

3.4.問題83.4.P8 ワイル標準形とジョルダン標準形の間の置換相似を構成するアルゴリズムは、標準ヤング図形（Young tableau）として知られる興味深い数学的対象を含む。例えば、\(J = J_3(0)\oplus J_2(0)...

3.4.問題73.4.P7(3.4.2.10b)で述べられた同時相似変換は、「Weyr」を「ジョルダン」に置き換えた場合には必ずしも可能ではないことを示す例を詳しく説明せよ。次を定義する：J =\begin{bmatrix}J_2(0) &...

3.4.問題63.4.P6 \(A \in M_2(\mathbb{R})\) が次の行列に相似であることを示せ：\begin{bmatrix}1 & 1 \\-1 & 1\end{bmatrix}ただし、それは次の形の行列であるとき、かつ...

3.4.問題5.4.P5\(A \in M_n\) を与え、\(A^2=0\) とする。\(r=\operatorname{rank}A\) とし、\(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_r\) を \(A\) の...

3.4.問題43.4.P4\(A \in M_n\) の異なる固有値を \(\lambda_1,\ldots,\lambda_d\)、それぞれの指数を \(q_1,\ldots,q_d\) とする。(a) 次を示せ：\dim C(A) = ...

3.4.問題33.4.P3 \(J \in M_{13}\) を(3.1.16a)の行列とする。(a) (3.4.2.7)を用いて \(\dim C(J)=65\) であることを示せ。(b) 次を示せ：w_1(J,0)^2 + w_2(J,...

3.4.問題23.4.P2なぜ \(C(A)\) が代数になるのかを説明せよ。

3.4.問題13.4.P1\(A \in M_n(\mathbb{R})\) で \(A^2=-I_n\) を満たすと仮定する。このとき、\(n\) は偶数であり、可逆行列 \(S \in M_n(\mathbb{R})\) が存在してS^...

3.4.3.3系系 3.4.3.3. \(A \in M_n\) を射影行列（すなわち \(A^2 = A\)）とする。\(A\) の特異値を大きい方から順に\(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_g > 1 \g...

3.4.3.1定理 3.4.3.1 (Littlewood)：与えられた \( A \in M_n \) の相異なる固有値を任意の順序で \(\lambda_1, \ldots, \lambda_d\) とし、それぞれの指数を \(q_1,...

3.4.33.4.3 ユニタリ・ワイル標準形。定理 3.4.2.3 と QR分解は、ワイル標準形のブロック構造を組み込んだ (2.3.1) の精緻化を導く。

3.4.2.10定理 3.4.2.10. \( A \in M_n \) を与えられた行列とし、その固有値を順序付きで \( \lambda_1, \ldots, \lambda_d \) とする。各固有値 \( \lambda_i \) ...

3.4.2.5定理 3.4.2.5（Belitskii）。\( A \in M_n \) を与える。固有値を任意の順序で \(\lambda_1, \ldots, \lambda_d\) とし、\( w_k(A, \lambda_j), \...

3.4.2.4補題 3.4.2.4. 複素数 \( \lambda \in \mathbb{C} \) と、正の整数 \( n_1 \geq n_2 \geq \cdots \geq n_k \geq 1 \) が与えられているとする。次の...

3.4.2.3定理 3.4.2.3. 行列 \( A \in M_n \) を考え、その固有値を \(\lambda_1, \ldots, \lambda_d\) とし、任意の順序で並べる。すると、正則行列 \( S \in M_n \) ...

3.4.23.4.2 ウェイヤー標準形。ウェイヤー特性（3.1.16）は、ジョルダン標準形の一意性の議論において重要な役割を果たした。それはまた、ジョルダン形に比べていくつかの利点を持つ相似に対する標準形を定義するためにも用いることができる...

3.4.1.10系 3.4.1.10. 実数体上の行列 \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) が与えられ、それが対角化可能であるとする。\( \mu_1, \ldots, \mu_q \) を \( A \) の実固有値と...

3.4.1.9系 3.4.1.9. 任意の \( A \in M_n \) に対して、\( A\overline{A} \) は \( \overline{A}A \) に相似であり、さらに実行列にも相似である。証明. 定理 3.2.11....

3.4.1.8系 3.4.1.8. \( A = \begin{bmatrix} B & 0 \\ C & 0 \end{bmatrix} \in M_n \) であり、もし \( B \in M_m \) が実行列に相似であるならば、\(...

3.4.1.7系 3.4.1.7. \( A \in M_n \) が与えられているとする。次の条件は同値である：(a) \(A\) は実行列に相似である。(b) \(A\) の非零固有値 \(\lambda\) と各 \(k = 1, 2...

3.4.1.5定理 3.4.1.5. 任意の \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) は、実相似変換によって次のような実ブロック対角行列に相似している：C_{n_1}(a_1, b_1) \oplus \cdots \opl...

3.4.13.4.1 実ジョルダン標準形。\( A \in M_n(\mathbb{R}) \) とすると、非実固有値は必ず共役複素数のペアで現れます。任意の \( \lambda \in \mathbb{C} \) と任意の \( k =...

3.3　問題353.3.P35\( A \in M_n \) とし、\(\operatorname{rank} A = 1\) であると仮定する。このとき最小多項式がq_A(t) = t(t - \operatorname{tr} A)であ...

3.3　問題343.3.P34\( A, B \in M_n \) とし、\( C = AB - BA \) とする。\( A \) の最小多項式 (3.3.5b) を考え、\( m = 2 \max\{r_1, \ldots, r_d\}...

3.3　問題333.3.P33 (3.3.11) の多項式 \( p \) の根を \( z_1, \ldots, z_n \) とする。このとき次を示しなさい。\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n |z_i|^2 \leq 1...

3.3　問題323.3.P32\( A \in M_n \) の異なる固有値を \( \lambda_1, \ldots, \lambda_d \) とする。ジョルダン標準形におけるブロックの個数を \( N = w_1(A,\lambda...

3.3　問題313.3.P31最小多項式が \( x^2 + 1 \) となる実数の \(3 \times 3\) 行列は存在しないことを示しなさい。ただし、そのような性質を持つ実数の \(2 \times 2\) 行列や複素数の \(3 ...

3.3　問題30.3.P30\( A, K \in M_n \) とし、\( K \) は反転行列（involution, \( K^2 = I \)）であり、\( A = -KAK \) が成り立つとする。このとき次を示しなさい。(a) ...