[行列解析3.3.P30]対合行列と反可換条件の構造

3.3.P30

3.3　問題30

\( A, K \in M_n \) とし、\( K \) は対合行列（involution, \( K^2 = I \)）であり、
\( A = -KAK \) が成り立つとする。このとき次を示しなさい。

(a) ある \( m \in \{0,1,\ldots,n\} \) と、行列 \( A_{12} \in M_{m,n-m}, A_{21} \in M_{n-m,m} \) が存在して、\( A \) は次の行列 \( B \) に相似である：

B = \begin{bmatrix} 0_m & A_{12} \\ A_{21} & 0_{n-m} \end{bmatrix}

また、\( KA \) は次の行列に相似である：

\begin{bmatrix} 0_m & A_{12} \\ - A_{21} & 0_{n-m} \end{bmatrix}

(b) \( A \) は \( iKA \) に相似である。したがって、\(\lambda\) が \( A \) の固有値であることと、\( i\lambda \) が \( KA \) の固有値であることは同値である。

(c) \( A \in M_n \) が歪中心対称行列（skew centrosymmetric, (0.9.10)）であり、\( K_n \) が逆順行列 (0.9.5.1) である場合、\( A \) は \( iK_n A \) に相似である。したがって、\(\lambda\) が \( A \) の固有値であることと、\( i\lambda \) が \( K_n A \) の固有値であることは同値である。この場合、\( K_n A \) は \( A \) の行を逆順に並べた行列である。

ヒント

\( K^2=I \) より \( K \) は対角化可能であり、固有値は \( \pm 1 \) である。空間を \( K \) の固有空間で分解すると、条件 \( A=-KAK \) はブロック対角成分を消し、非対角ブロックのみが残る形になる。

解答例

(a) を示す。\( K^2=I \) より、ある基底に関して \( K \sim I_m \oplus (-I_{n-m}) \) と書ける。このとき空間は \( V = V_+ \oplus V_- \) と分解される。

この基底に関して \( A \) をブロック表示すると

A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}

と書ける。条件 \( A=-KAK \) を代入すると

\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} = - \begin{bmatrix} I_m & 0 \\ 0 & -I_{n-m} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_m & 0 \\ 0 & -I_{n-m} \end{bmatrix}

計算すると

\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & - A_{22} \end{bmatrix}

となるので、 \( A_{11}=0,\; A_{22}=0 \) が従う。したがって

A \sim \begin{bmatrix} 0_m & A_{12} \\ A_{21} & 0_{n-m} \end{bmatrix}

となる。

また \( KA \) は

KA \sim \begin{bmatrix} I_m & 0 \\ 0 & -I_{n-m} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0_m & A_{12} \\ A_{21} & 0_{n-m} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0_m & A_{12} \\ - A_{21} & 0_{n-m} \end{bmatrix}

となる。

(b) を示す。行列

D = \begin{bmatrix} I_m & 0 \\ 0 & i I_{n-m} \end{bmatrix}

を考えると、

D^{-1} \begin{bmatrix} 0 & A_{12} \\ A_{21} & 0 \end{bmatrix} D = \begin{bmatrix} 0 & A_{12} \\ - A_{21} & 0 \end{bmatrix}

が成り立つ。よって \( A \) は \( iKA \) に相似である。

したがって、\( \lambda \) が \( A \) の固有値であることと、\( i\lambda \) が \( KA \) の固有値であることは同値である。

(c) を示す。歪中心対称行列 \( A \) は \( A = -K_n A K_n \) を満たすので、(a), (b) の結果をそのまま適用できる。

したがって \( A \) は \( iK_n A \) に相似であり、\( \lambda \) が \( A \) の固有値であることと、\( i\lambda \) が \( K_n A \) の固有値であることは同値である。また \( K_n A \) は \( A \) の行を逆順に並べた行列である。