[行列解析3.4.P8]ヴェイア標準形とジョルダン標準形の置換相似

3.4.P8

3.4.問題8

ヴェイア標準形とジョルダン標準形の間の置換相似を構成するアルゴリズムは、標準ヤング図形（Young tableau）として知られる興味深い数学的対象を含む。

例えば、\(J = J_3(0)\oplus J_2(0)\in M_5\) を考える。
これはヴェイア特性 \(w_1=2,\; w_2=2,\; w_3=1\) を持つ。

(a) この行列に対応する点図（dot diagram、3.1.P11）とヴェイア標準形が次であることを確認せよ：

\begin{array}{cc} • & • \\ • & • \\ • & \end{array}\quad \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & \end{array} \quad \\ W = \begin{bmatrix} 0_{2} & G_{2,2} & \\ & 0_{2} & G_{2,1} \\ & & 0_{1} \end{bmatrix} = \left[ \begin{array}{cc|cc|c} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \in M_5

点図：\(\begin{array}{cc} • & • \\ • & • \\ • & \\ \end{array} \) ヴェイア標準形：\( W = \begin{bmatrix} 0_{2} & G_{2,2} & \\ 0_{2} & 0_{2} & G_{2,1} \\ 0_{1} & 0_{1} & 0_{1} \end{bmatrix} \in M_5 \)

点図に左から右、行ごとに上から下へ連続する整数 \(1,\ldots,5\) を貼り付ける（このラベル付けされた点図がヤング表（Young tableau）である）。

次に、ラベル付けした図を列ごとに上から下へ、左から右へ読んでいき、その得られた列を用いて置換σを構成する。

ヤング表：\( \begin{array}{cc}1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 &\end{array} \)このヤング表は置換σを与える：\( \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 5 & 2 & 4 \end{pmatrix}\)

置換σに対応する置換行列 \(P=[e_1\; e_3\; e_5\; e_2\; e_4]\in M_5\) （単位行列 \(I_5\) の列をσで並べ替えたもの）を作る。すると直接確かめられるように \(J = P^T W P\)、したがって \(W = P J P^T\) が成り立つ。

\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 5 & 2 & 4 \end{pmatrix}

一般に、与えられたヴェイア形 \(W\in M_n\) とそれに対応するジョルダン形 \(J\) の間の置換相似を作るには、まずヴェイア特性の点図に対して各行を左から右へ、上から下へ順に連続整数 \(1,2,\ldots,n\) をラベルしてヤング表を作る。次にヤング表を列ごとに上から下へ、左から右へ読み、その順序で得られた数列を第2行に置いた行列 \(\sigma\in M_{2,n}\) を作る（第1行は \(1,2,\ldots,n\)）。最後に \(\sigma\) の第2行が指定する順序で単位行列 \(I_n\) の列を並べ替えて置換行列 \(P=[e_{\sigma_{2,1}}\, e_{\sigma_{2,2}}\,\cdots\, e_{\sigma_{2,n}}]\) を作る。すると \(J = P^T W P\) かつ \(W = P J P^T\) が成り立つ。

(b) なぜこのアルゴリズムが正しいのか説明せよ。

(c) このアルゴリズムを使って (3.1.16a) のジョルダン行列とそのヴェイア標準形との間の置換相似を構成し、それが実際に働くことを確かめよ。

(3.1.16a)

\begin{align} J = & J_3(0) \oplus J_3(0) \notag \\ & \quad \oplus J_2(0) \oplus J_2(0) \oplus J_2(0) \notag \\ & \quad \quad \oplus J_1(0) \notag \end{align}

ヒント

ヴェイア標準形は「列方向」、ジョルダン標準形は「行方向」の連結構造を持つ。点図を用いると、行ごとの並びと列ごとの並びの違いが可視化できる。この2つの読み方の違いが置換行列として現れる。

解答例

(a) 行列 \(J=J_3(0)\oplus J_2(0)\) に対して、ヴェイア特性は \(w_1=2,\; w_2=2,\; w_3=1\) である。したがって点図は

\begin{array}{cc} \bullet & \bullet \\ \bullet & \bullet \\ \bullet & \end{array}

となる。これに上から順に番号を付けるとヤング表

\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & \end{array}

を得る。これを列ごとに読むと

1,3,5,2,4

となるので、置換は

\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 5 & 2 & 4 \end{pmatrix}

である。これに対応する置換行列 \(P=[e_1\; e_3\; e_5\; e_2\; e_4]\) をとると、

J = P^{\top} W P,\quad W = P J P^{\top}

が成り立つ。

P = [e_1; e_3; e_5; e_2; e_4]＝ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \\ P^{\top} = P^{-1}\\ P^{\top} W P = J

(b) ジョルダン標準形では各ブロックは横方向に連結している。一方、ヴェイア標準形では同じ長さの列が縦方向に連結している。点図において、行方向に読むとジョルダン構造が、列方向に読むとヴェイア構造が得られる。この読み替えは単なる基底の並べ替えであり、したがって置換行列による相似変換で実現される。

すなわち、ヤング表の「行優先」の並びと「列優先」の並びの違いが、ちょうどジョルダン形とヴェイア形の違いに対応している。このため、構成された置換行列 \(P\) によって両者は相似になる。

(c) (3.1.16a) の場合、ジョルダンブロックは \(J_3(0),J_3(0),J_2(0),J_2(0),J_2(0),J_1(0)\) である。したがってヴェイア特性は