3.3.P35
3.3 問題35
\( A \in M_n \) とし、\(\operatorname{rank} A = 1\) であると仮定する。このとき最小多項式が
q_A(t) = t(t - \operatorname{tr} A)
であることを示し、さらに \( A \) が対角化可能であることと \(\operatorname{tr} A \neq 0\) が同値であることを結論しなさい。
ヒント
階数が 1 の行列 \(A\) は \(A=uv^{\top}\) の形に表せる。このとき \(A^2\) を計算すると \(A\) のスカラー倍になることがわかる。そこから満たす多項式を見つければ最小多項式が求まる。また、固有値は 0 と \(\operatorname{tr}A\) のみであり、重複の有無から対角化可能性を判定できる。
解答例
\(\operatorname{rank}A=1\) とする。このとき適当な列ベクトル \(u,v\) を用いて
A = u v^{\top}
と表せる。
このとき \(A^2\) を計算すると
A^2 = u v^{\top} u v^{\top} = (v^{\top}u) \, u v^{\top}
となる。ここでスカラー \(v^{\top}u\) は
v^{\top}u = \operatorname{tr}(uv^{\top}) = \operatorname{tr}A
であるから、
A^2 = (\operatorname{tr}A) A
を得る。よって
A(A - (\operatorname{tr}A)I) = 0
が成り立つ。したがって \(A\) の最小多項式は
q_A(t) = t(t - \operatorname{tr}A)
である。
次に対角化可能性について考える。固有値は上の最小多項式から \(0\) と \(\operatorname{tr}A\) のみである。
もし \(\operatorname{tr}A \neq 0\) ならば、最小多項式は異なる一次因子の積であり、
q_A(t) = t(t - \operatorname{tr}A)
は重複を持たない。したがって \(A\) は対角化可能である。
一方、\(\operatorname{tr}A = 0\) のときは
q_A(t) = t^2
となり、最小多項式は重根を持つ。このとき \(A \neq 0\) であるから対角化可能ではない。
以上より、\(A\) が対角化可能であることと \(\operatorname{tr}A \neq 0\) は同値である。
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