[行列解析3.4.P6]実2次行列の相似条件の特徴付け

3.4.P6

3.4.問題6

\(A \in M_2(\mathbb{R})\) が次の行列に相似であるとき、

\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}

それは次の形の行列である時で、かつそのときに限る：

A = \begin{bmatrix} 1+\alpha & \dfrac{1+\alpha^2}{\beta} \\ -\beta & 1-\alpha \end{bmatrix}, \quad \alpha,\beta \in \mathbb{R},\ \beta \neq 0

相似であるための条件は特性多項式と最小多項式が一致することである。

与えられた標準形の行列の特性多項式を求め、一般の行列 \(A\) に対して同じ条件を満たす形を調べる。

さらに基底変換を具体的に構成するとよい。

まず、行列

B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}

の特性多項式を求めると、

\det(tI - B) = \begin{vmatrix} t-1 & -1 \\ 1 & t-1 \end{vmatrix} = (t-1)^2 + 1 = t^2 - 2t + 2

となる。したがって固有値は \(1 \pm i\) であり、最小多項式も

(t-1)^2 + 1

である。

次に、与えられた行列

A = \begin{bmatrix} 1+\alpha & \dfrac{1+\alpha^2}{\beta} \\ -\beta & 1-\alpha \end{bmatrix}

について特性多項式を計算する：

\det(tI - A) = \begin{vmatrix} t-(1+\alpha) & -\dfrac{1+\alpha^2}{\beta} \\ \beta & t-(1-\alpha) \end{vmatrix}

= (t-1-\alpha)(t-1+\alpha) + (1+\alpha^2) = (t-1)^2 - \alpha^2 + 1 + \alpha^2 = (t-1)^2 + 1

よって \(A\) の特性多項式は \(B\) と一致する。

さらに、\((t-1)^2+1\) は実数体上既約であるため、最小多項式もこれに一致する。したがって \(A\) は \(B\) と相似である。

逆に、\(A\) が \(B\) に相似であるとする。このとき \(A\) の特性多項式は \(t^2-2t+2\) に一致するので、

\operatorname{tr}A = 2,\quad \det A = 2

が成り立つ。

一般の \(2 \times 2\) 実行列

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

に対して、\(\operatorname{tr}A = a+d = 2\) より \(d=2-a\) と書ける。また \(\det A = ad-bc=2\) より

a(2-a) - bc = 2

\Longleftrightarrow - a^2 + 2a - 2 = bc \Longleftrightarrow bc = -(a-1)^2 -1

ここで \(\alpha = a-1\)、\(c=-\beta\)（\(\beta \neq 0\)）とおくと、

b = \dfrac{1+\alpha^2}{\beta}

と表される。したがって

A = \begin{bmatrix} 1+\alpha & \dfrac{1+\alpha^2}{\beta} \\ -\beta & 1-\alpha \end{bmatrix}

の形になる。

以上より、\(A\) が \(B\) に相似であることと、この形で表せることは同値である。