[行列解析3.4.P1]平方が負単位行列となる実行列の標準形

3.4.P1

3.4.問題1

\(A \in M_n(\mathbb{R})\) で \(A^2=-I_n\) を満たすと仮定する。このとき、\(n\) は偶数であり、可逆行列 \(S \in M_n(\mathbb{R})\) が存在して

S^{-1}AS = \begin{bmatrix} 0 & -I_{n/2} \\[4pt] I_{n/2} & 0 \end{bmatrix}

が成り立つことを示せ。

条件 \(A^2=-I\) より、最小多項式は \(t^2+1\) を割る。実数体では固有値は \(\pm i\) となり、複素共役対として現れるため、次元は偶数になる。また、実ジョルダン標準形では各対は \(2\times2\) ブロックとして表される。

\(A \in M_n(\mathbb{R})\) が

A^2 = -I_n

を満たすとする。このとき \(A\) は多項式

t^2 + 1

を満たすので、最小多項式は \(t^2+1\) に一致する。

したがって、複素数体上では固有値は \(i,-i\) のみである。実数体においてはこれらは複素共役対として現れるため、対応する不変部分空間はすべて2次元である。よって次元 \(n\) は偶数である。

さらに、実ジョルダン標準形において、各共役対 \(i,-i\) に対応するブロックは

\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

の形になる。

したがって、ある可逆行列 \(S \in M_n(\mathbb{R})\) が存在して、

S^{-1}AS = \begin{pmatrix} 0 & -1 & & & \\ 1 & 0 & & & \\ & & \ddots & & \\ & & & 0 & -1 \\ & & & 1 & 0 \end{pmatrix}

と表せる。この行列はブロック対角行列として

\begin{bmatrix} 0 & -I_{n/2} \\ I_{n/2} & 0 \end{bmatrix}

と同値である。

以上より、\(n\) は偶数であり、所望の標準形が得られる。

次の3問（3.4.P2,3.4.P3,3.4.P4）では、与えられた \(A \in M_n\) に対して、中心化代数 \(C(A)=\{B \in M_n : AB=BA\}\) を考える。これは \(A\) と可換な行列全体の集合である。