[行列解析3.4.P3]ジョルダン行列の中心化代数の次元

3.4.P3

3.4.問題3

与えられた \(A \in M_n\) に対して、中心化代数 \(C(A)=\{B \in M_n : AB=BA\}\) を考える。これは \(A\) と可換な行列全体の集合である。

\(J \in M_{13}\) を(3.1.16a)の行列とする。

(3.1.16a)

\begin{align} J = & J_3(0) \oplus J_3(0) \notag \\ & \quad \oplus J_2(0) \oplus J_2(0) \oplus J_2(0) \notag \\ & \quad \quad \oplus J_1(0) \notag \end{align}

(a) (3.4.2.7)を用いて \(\dim C(J)=65\) であることを示せ。

(3.4.2.7)

N = \begin{bmatrix} B & * & * & * \\ C & F & * & * \\ D & E & B & * \\ G & 0 & C & F \\ * & * & D & E \\ * & * & G & B \end{bmatrix}

(b) 次を示せ：

w_1(J,0)^2 + w_2(J,0)^2 + w_3(J,0)^2 = 65

零固有値のジョルダンブロックのサイズを並べ、その個数から \(w_k(J,0)\) を求める。中心化代数の次元はブロック間の写像の自由度の和であり、結果として \(\sum w_k^2\) に一致することを用いる。

与えられた行列は

J = J_3(0) \oplus J_3(0) \oplus J_2(0) \oplus J_2(0) \oplus J_2(0) \oplus J_1(0)

である。

(a) 各サイズごとのブロック数から

w_1(J,0) = 6,\quad w_2(J,0) = 5,\quad w_3(J,0) = 2

が得られる。ここで \(w_k(J,0)\) はサイズが \(k\) 以上のジョルダンブロックの個数である。

(3.4.2.7) によれば、中心化代数の次元は

\dim C(J) = \sum_{k \geq 1} w_k(J,0)^2

で与えられる。したがって

\dim C(J) = 6^2 + 5^2 + 2^2 = 36 + 25 + 4 = 65

となる。

(b) 上で求めた値を用いれば、

w_1(J,0)^2 + w_2(J,0)^2 + w_3(J,0)^2 = 6^2 + 5^2 + 2^2 = 65

となり、(a) と一致する。

以上より、求める等式が成り立つ。