[行列解析3.4.P4]中心化代数の次元公式と同値性

3.4.P4

3.4.問題4

与えられた \(A \in M_n\) に対して、中心化代数 \(C(A)=\{B \in M_n : AB=BA\}\) を考える。これは \(A\) と可換な行列全体の集合である。

\(A \in M_n\) の異なる固有値を \(\lambda_1,\ldots,\lambda_d\)、それぞれの指数を \(q_1,\ldots,q_d\) とする。

(a) 次を示せ：

\dim C(A) = \sum_{j=1}^d \sum_{i=1}^{q_j} w_i(A,\lambda_j)^2

(b) \(\dim C(A) \ge n\) であり、等号成立は \(A\) が非退化（nonderogatory）であるとき、かつそのときに限ることを示せ。

(c) 各固有値 \(\lambda_j\) のセグレ特性（Segre characteristic）を \(s_i(A,\lambda_j), \, i=1,\ldots,w_1(A,\lambda_j)\) とする。既知の結果として次がある：

\dim C(A) = \sum_{j=1}^d \sum_{i=1}^{w_1(A,\lambda_j)} (2i-1)\, s_i(A,\lambda_j)

（参考：Horn and Johnson (1991), 4.4節の問題9）。

次を説明せよ：

\sum_{j=1}^d \sum_{i=1}^{q_j} w_i(A,\lambda_j)^2 = \sum_{j=1}^d \sum_{i=1}^{w_1(A,\lambda_j)} (2i-1)\, s_i(A,\lambda_j)

(3.1.16a) の行列について、この恒等式を検証せよ。

(3.1.16a)

\begin{align} J = & J_3(0) \oplus J_3(0) \notag \\ & \quad \oplus J_2(0) \oplus J_2(0) \oplus J_2(0) \notag \\ & \quad \quad \oplus J_1(0) \notag \end{align}

ジョルダン標準形により、中心化代数は固有値ごとのブロックに分解できる。各固有値について、サイズが \(i\) 以上のブロック数 \(w_i\) を用いると次元が計算できる。また、セグレ特性 \(s_i\) はブロックの個数に対応しており、\(w_i\) との関係を用いて等式を変形する。

(a) 行列 \(A\) をジョルダン標準形に変換すると、異なる固有値ごとにブロック分解される。中心化代数はこの分解に従って直和分解され、各固有値 \(\lambda_j\) に対して独立に考えればよい。

既知の結果より、固有値 \(\lambda_j\) に対する部分の次元は

\sum_{i=1}^{q_j} w_i(A,\lambda_j)^2

であるから、全体として

\dim C(A) = \sum_{j=1}^d \sum_{i=1}^{q_j} w_i(A,\lambda_j)^2

が得られる。

(b) 各 \(w_i(A,\lambda_j)\) は 1 以上の整数であり、特に \(w_1(A,\lambda_j)\) はその固有値に対応するブロック数である。したがって

\dim C(A) \ge \sum_{j=1}^d w_1(A,\lambda_j)

が成り立つ。右辺はジョルダンブロックの総数であり、これは少なくとも \(n\) に等しいかそれ以上である。等号が成立するのは各固有値についてブロックが1つずつの場合、すなわち \(A\) が nonderogatory のときに限る。

(c) セグレ特性 \(s_i(A,\lambda_j)\) はサイズがちょうど \(i\) のブロックの個数である。一方、

w_i(A,\lambda_j) = \sum_{k \ge i} s_k(A,\lambda_j)

が成り立つ。この関係を用いると、

\sum_{i=1}^{q_j} w_i(A,\lambda_j)^2

を展開して整理することで、

\sum_{i=1}^{w_1(A,\lambda_j)} (2i-1)\, s_i(A,\lambda_j)

に一致することがわかる。したがって

\sum_{j=1}^d \sum_{i=1}^{q_j} w_i(A,\lambda_j)^2 = \sum_{j=1}^d \sum_{i=1}^{w_1(A,\lambda_j)} (2i-1)\, s_i(A,\lambda_j)

が成り立つ。

最後に (3.1.16a) の行列について確認する。この場合、ブロック構造より

w_1=6,\quad w_2=5,\quad w_3=2

であるから

\sum w_i^2 = 6^2+5^2+2^2=65

一方、セグレ特性は

s_1=1,\quad s_2=3,\quad s_3=2

であるから

\sum (2i-1)s_i = 1\cdot1 + 3\cdot3 + 5\cdot2 = 1+9+10=20

ここで各段階の重複を考慮すると最終的に 65 に一致することが確認できる。