8.正および非負行列 [行列解析8.7]注記
注と参考文献 定理 8.7.2 は G. Birkhoff により “Tres observaciones sobre el álgebra lineal”, Univ. Nac. Tucumán Rev. Ser. A 5 (1946) ...
8.正および非負行列
8.正および非負行列 
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P15]バーコフの定理における頂点の上界
(8.7.P15)問題バーコフの定理における頂点の上界 \( n^2 - n + 1 \) を、\( (n^2 - n + 1) - (n - 1) = n^2 - 2n + 2 \) に改良できることを示せ。詳細を以下の手順で説明せよ：(...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P14]二重確率行列の置換相似による直和化
(8.7.P14)問題\( A \in M_n \) が二重確率かつ既約でない（reducible）場合、\( A \) は置換相似により、二重確率行列 \( A_1, A_2 \) からなる直和 \( A_1 \oplus A_2 \) ...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P13]二重確率行列とユニタリ不変ノルム
(8.7.P13)問題\( | \| \cdot \| | \) をユニタリ不変な行列ノルムとする。このとき、任意の二重確率行列 \( A \in M_n \) に対して \( |\| A \|| \le |\| I \|| \) が成り立...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P12]二重確率行列の半正定値平方根の性質
(8.7.P12)問題\( A \in M_n \) を二重確率・対称・半正定値行列とし、\( A^{1/2} \) をその半正定値平方根とする。 (a) \( A^{1/2} e = e \) であることを示せ。したがって、\( A^{1...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P11]二重確率行列を置換行列で凸結合表現した時の一意性について
(8.7.P11)問題二重確率行列\(A\)の表現式 (8.7.3) が一意でないことを示せ。8.7.3二重確率行列\(A\)に対し、置換行列 \( P_1, P_2, \ldots, P_N \in M_n \) と正の実数 \( t_1...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P10]2×2二重確率行列の構造に関する証明
(8.7.P10)問題2×2 の二重確率行列は対称であり、対角要素が等しいことを示せ。 解答例\( 2 \times 2 \) の行列 \( A \) が二重確率行列であるための条件を考察する。1. 二重確率行列の一般形一般の \( 2 \...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P9]二重確率行列の正の成分数に関する考察
(8.7.P9)問題\( A \in M_n \) を二重確率行列とする。 (a) \( A \) がちょうど \( n + 1 \) 個の正の要素をもつことはできないことを示せ。 (b) \( A \) が置換行列でない場合、\( A \...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P8]二重確率行列と置換行列
(8.7.P8)問題\( n \times n \) の二重確率行列の集合がコンパクトかつ凸であることを踏まえ、ある行列がその集合の極端点であることと、置換行列であることが同値である理由を説明せよ。ヒント(8.7.2)解答例二重確率行列の集...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P7]バーコフ多面体の極端点（頂点）
(8.7.P7)問題任意の置換行列が、二重確率行列の凸集合における極端点（extreme point）であることを示せ。さらに、\( A \) が置換行列である場合に、どのような追加の性質がいえるか述べよ。 ヒント\(A = α_1B + ...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P6]二重確率行列と置換不変ノルム
（8.7.P6）問題\( | \| \cdot \| | \) を、\( \mathbb{R}^n \) 上の置換不変ノルム \( \| \cdot \| \) によって誘導される行列ノルムとする。このとき、任意の二重確率行列 \( A \...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P5]二重確率行列の最大特異値とスペクトル半径
(8.7.P5)問題\( A \in M_n \) を二重確率行列とし、その最大特異値を \( \sigma_1(A) \) とする。\( \sigma_1(A) = \rho(A) = 1 \) を、すなわち二重確率行列はスペクトル行列で...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P4]非負行列の最大絶対値固有値の半単純性
(8.7.P4)問題\( A \in M_n \) を非負で零でない行列とし、正の固有ベクトルをもつとする。このとき、\( A \) のすべての最大絶対値の固有値が半単純であることを説明せよ。 解答例1. 問題の前提と背景\( A \in ...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P3]非負行列の確率行列への変換
(8.7.P3)問題\( A \in M_n \) を非負で零でない行列とし、正の固有ベクトル \( x = \) をもつとする。\( D = \mathrm{diag}(x_1, \dots, x_n) \) とおく。このとき、\( \r...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P2]確率行列の |λ| = 1 を満たす固有値
(8.7.P2)問題\( A \in M_n \) を確率行列とし、\( |\lambda| = 1 \) を満たす固有値 \( \lambda \) を考える。ただし、\( \lambda = 1 \) はそのような固有値の一つであるが、...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P1]確率行列および二重確率行列の集合が半群を構成する
(8.7.P1)問題\( M_n \) における確率行列および二重確率行列の集合が、それぞれ行列積に関して半群（セミグループ）を構成することを示せ。すなわち、\( A, B \in M_n \) が（それぞれ二重）確率行列であるならば、\(...
8.正および非負行列 [行列解析8.7]問題集（確率行列と二重確率行列）
8.7.問題集確率行列と二重確率行列に関する問題。8.7.P1 \( M_n \) における確率行列および二重確率行列の集合が、それぞれ行列積に関して半群（セミグループ）を構成することを示せ。すなわち、\( A, B \in M_n \) ...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.6]定理：フォン・ノイマンのトレース定理（平方行列の場合）
8.7.6 フォン・ノイマンのトレース定理（平方行列の場合）定理 8.7.6（フォン・ノイマン）\( A, B \in M_n \) の特異値をそれぞれ大きい順に並べて\sigma_1(A) \ge \cdots \ge \sigma_n(...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.5]補題：二重劣確率行列と二重確率行列の関係
8.7.5 二重劣確率行列と二重確率行列の関係補題 8.7.5.\( A \in M_n \) が二重劣確率行列であるとする。このとき、ある二重確率行列 \( S \in M_n \) が存在して \( A \le S \) が成り立つ。証...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.4]系：二重確率行列上の凸関数の最大値と凹関数の最小値
8.7.4 二重確率行列上の凸関数の最大値と凹関数の最小値系 8.7.4. 二重確率 \( n \times n \) 行列の集合上で定義された実数値関数 \( f \) が凸関数（または凹関数）であるとき、凸関数 \( f \) の最大値...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.2]定理（バーコフの定理）：二重確率行列の凸結合表現
8.7.2 定理（バーコフの定理）：二重確率行列の凸結合表現バーコフの定理は、バーコフ-フォンノイマン（Birkhoff–von Neumann）の定理と呼ばれることもあります。定理 8.7.2（バーコフの定理） 行列 \( A \in M...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.1]補題：非単位二重確率行列における置換の存在
8.7.1 補題：非単位二重確率行列における置換の存在補題 8.7.1 \( A = \in M_n \) を、単位行列ではない二重確率行列とする。このとき、恒等置換でない置換 \( \sigma \) が存在し、次を満たす： a_{1\s...
8.正および非負行列 [行列解析8.7]確率行列と二重確率行列
目次8.7.1 補題：非単位二重確率行列における置換の存在8.7.2 定理（バーコフの定理）：二重確率行列の凸結合表現8.7.4 系：二重確率行列上の凸関数の最大値と凹関数の最小値8.7.5 補題：二重劣確率行列と二重確率行列の関係8.7....
8.正および非負行列 [行列解析8.6.P2]
8.6.問題28.6.P2\( A \in M_n \) が既約かつ非負行列であり、\( n \ge 2 \) とする。さらに、\( A^m = \)（ただし \( m = 1, 2, \ldots \)）と表す。このとき、任意の添字の組 ...
8.正および非負行列 [行列解析8.6.P1]
8.6.問題18.6.P1行列 \( A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \) とする。式 (8.6.5) における行列因子の直和を計算せよ。また、不等式 (8.6.1) におけ...
8.正および非負行列 [行列解析8.6]問題集
8.6.問題集8.6節 練習問題：非負既約行列の極限挙動8.6.P1行列 \( A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \) とする。式 (8.6.5) における行列因子の直和を計算...
8.正および非負行列 [行列解析8.6.1]定理：非負既約行列に対する一般的な極限定理
8.6.1 定理：非負既約行列に対する一般的な極限定理\( A \in M_n \) が既約かつ非負行列であり、\( n \ge 2 \) とする。また、\( x \) および \( y \) をそれぞれ \( A \) の右ペロンベクトル...
8.正および非負行列 [行列解析8.6]一般的な極限定理
目次8.6.1 定理：非負既約行列に対する一般的な極限定理8.6 問題集8.6 一般的な極限定理非負行列 \( A \) が既約であっても、正規化されたべき乗 \( A^m \) が極限を持たない場合がある。たとえば、次の行列A = \be...
8.正および非負行列 [行列解析8.5]注記
参考文献Romanovsky の定理の証明については、V. Romanovsky, Recherches sur les chaînes de Markoff, Acta Math. 66 (1936), 147–251 を参照。非負原始行...
8.正および非負行列 [行列解析8.5.P20]
8.5.問題208.5.P20(8.5.7) の証明において、行列 \( X_{11} \) および \( X_{12} \) の各列が少なくとも1つの非ゼロ要素を含む理由、および \( Y_{21} \gt 0 \) である理由を説明せよ...