行列解析

3.5.問題7演習 3.5.P7.行列 \( C_n = \in M_n(\mathbb{R}) \) が次の LU 分解を持つことを示せ：C_n = L_n L_n^Tここで下三角行列 \( L_n \) の要素は \( l_{ij} =...

3.5.問題6演習 3.5.P6.\( M_n \) の与えられた行列の \( (n,n) \) 成分が、LU 分解の存在、L が非特異な場合、U が非特異な場合に影響を与えない理由を説明せよ。

3.5.問題5演習 3.5.P5（ランチョス三重対角化アルゴリズム）.\( A \in M_n \) と \( x \in \mathbb{C}^n \) が与えられている。次を定義する：X = 列ベクトルの集合 \( X \) はクライロ...

3.5.問題4演習 3.5.P4.\( A \in M_n \) の先頭主小行列式（leading principal minors）がすべて非零である場合、タイプ3の基本行操作（diagonal 以下の成分を 0 にする）を用いて、どのよ...

3.5.問題3演習 3.5.P3.\( A, B \in M_n \) をユニット三角相似（unit triangularly equivalent）であるというのは、ある単位下三角行列 \( L \) と単位上三角行列 \( U \) が...

3.5.問題2演習 3.5.P2.\( A \) が \( A = QR \) の形で与えられ、\( Q \) がユニタリ行列、\( R \) が上三角行列である場合（2.1.14）、どのようにして方程式 \( Ax = b \) を解くか...

3.5.問題1演習 3.5.P1.これまで、\( L \) が下三角行列で \( U \) が上三角行列である \( A = LU \) の分解について議論してきた。ここで、因子が異なる場合もあることに注意しながら、\( A = UL \)...

3.5問題集3.5.P1これまで、\( L \) が下三角行列で \( U \) が上三角行列である \( A = LU \) の分解について議論してきた。ここで、因子が異なる場合もあることに注意しながら、\( A = UL \) 分解の平...

定理 3.5.14（LPDU 分解）.定理 3.5.14（LPDU 分解）. 任意の非特異行列 \( A \in M_n \) に対して、一意的な置換行列 \( P \)、一意的な非特異対角行列 \( D \)、単位下三角行列 \( L \...

3.5.13定理定理 3.5.13. \( A, B \in M_n \) を非特異行列とする。次の条件は同値である：(a) \( M_n \) の置換行列 \( P \) が一意に存在して、\( A \) と \( B \) の両方が \...

3.5.12定義定義 3.5.12. 行列 \( A, B \in M_n \) が三角相似（triangularly equivalent）であるとは、次の条件を満たす場合をいう。すなわち、正則行列 \( L, U \in M_n \) ...

3.5.11定理定理 3.5.11（LPU分解）．任意の \( A \in M_n \) に対して、置換行列 \( P \in M_n \)、単位下三角行列 \( L \in M_n \)、および上三角行列 \( U \in M_n \) ...

3.5.8定理定理 3.5.8（PLU分解）．任意の \( A \in M_n \) に対して、置換行列 \( P \in M_n \)、単位下三角行列 \( L \in M_n \)、および上三角行列 \( U \in M_n \) が存...

3.5.7補題補題 3.5.7. \( A \in M_k \) が非特異であるとする。このとき、置換行列 \( P \in M_k \) が存在して、任意の \( j = 1, \ldots, k \) に対して\det \big( (P...

3.5.6系系 3.5.6（LDU分解）。行列 \( A = \in M_n \) を考える。(a) \( A \) が非特異であると仮定する。このとき、\( A \) が LU 分解 \( A = LU \) を持つのは、任意の \( i...

3.5.5例 3.5.5. すべての行列がLU分解を持つとは限らない。たとえばA =\begin{bmatrix}0 & 1 \\1 & 0\end{bmatrix}が \( A = LU \) と書けると仮定する：L =\begin{bm...

3.5.4系 3.5.4. \( A \in M_n \) で \(\mathrm{rank}(A) = k\) とする。もし \( A \) がすべての \( j = 1, \ldots, k \) に対して正則であるならば、\( A \...

3.5.3定理 3.5.3. \( A \in M_n \) とする。このとき次が成り立つ：(a) \( L \) が正則となるLU分解を \( A \) が持つのは、ちょうど \( A \) が行包含性 (row inclusion pr...

3.5.2補題 3.5.2. \( A \in M_n \) とし、\( A = LU \) がLU分解であると仮定する。任意の2×2ブロック分割A =\begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} \\A_{21} & A_...

3.5.1定義 3.5.1. \( A \in M_n \) とする。もし \( L \in M_n \) が下三角行列であり、\( U \in M_n \) が上三角行列であるとき、分解A = LUを \( A \) の LU分解 (LU...

3.4.問題113.4.P11 \(A \in M_n\) を与える。\(A\) のワイル標準形とジョルダン標準形が同じであることと、次のいずれかが成り立つことは同値であることを示せ：\(A\) が非退化（nonderogatory）である...

3.4.問題103.4.P10ジョルダン行列 \(J\) のワイル標準形が \(J\) 自身と一致するのは、任意の固有値 \(\lambda\) について、(i) \(J\) に \(\lambda\) を固有値とするジョルダンブロックが正...

3.4.問題93.4.P9与えられた正方行列 \(A\) のワイル標準形は、ジョルダン標準形（3.2.9）と同様に、\(A\) の類似類に属する行列のうち全ての非対角の非零要素の数が最小であることを説明せよ。

3.4.問題83.4.P8 ワイル標準形とジョルダン標準形の間の置換相似を構成するアルゴリズムは、標準ヤング図形（Young tableau）として知られる興味深い数学的対象を含む。例えば、\(J = J_3(0)\oplus J_2(0)...

3.4.問題73.4.P7(3.4.2.10b)で述べられた同時相似変換は、「Weyr」を「ジョルダン」に置き換えた場合には必ずしも可能ではないことを示す例を詳しく説明せよ。次を定義する：J =\begin{bmatrix}J_2(0) &...

3.4.問題63.4.P6 \(A \in M_2(\mathbb{R})\) が次の行列に相似であることを示せ：\begin{bmatrix}1 & 1 \\-1 & 1\end{bmatrix}ただし、それは次の形の行列であるとき、かつ...

3.4.問題5.4.P5\(A \in M_n\) を与え、\(A^2=0\) とする。\(r=\operatorname{rank}A\) とし、\(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_r\) を \(A\) の...

3.4.問題43.4.P4\(A \in M_n\) の異なる固有値を \(\lambda_1,\ldots,\lambda_d\)、それぞれの指数を \(q_1,\ldots,q_d\) とする。(a) 次を示せ：\dim C(A) = ...

3.4.問題33.4.P3 \(J \in M_{13}\) を(3.1.16a)の行列とする。(a) (3.4.2.7)を用いて \(\dim C(J)=65\) であることを示せ。(b) 次を示せ：w_1(J,0)^2 + w_2(J,...