[行列解析3.5.P3]ユニット三角相似の性質と標準形

3.5.P3

3.5.問題3

\( A, B \in M_n \) をユニット三角相似（unit triangularly equivalent）であるというのは、ある単位下三角行列 \( L \) と単位上三角行列 \( U \) が存在して \( A = L B U \) と表されることを意味する。次の事項を説明せよ：

(a) ユニット三角相似は \( M_n \) および \( GL(n, \mathbb{C}) \) 上で同値関係である理由。

(b) \( P, D, P', D' \in M_n \) が与えられ、\( P \) と \( P' \) が置換行列、\( D \) と \( D' \) が非特異対角行列の場合、次の条件が成り立つことを示せ：

P D = P' D' \quad \text{ならばかつそのときのみ} \quad P = P' \text{かつ} D = D'

(c) \( M_n \) の各非特異行列は、一意的な一般化置換行列（generalized permutation matrix, 0.9.5）にユニット三角相似である。

(d) \( M_n \) の二つの一般化置換行列は、一致する場合に限りユニット三角相似である。

(e) \(n \times n\) の一般化置換行列は、\( GL(n, \mathbb{C}) \) 上のユニット三角相似の同値関係に対する標準行列集合を形成する。

ヒント

ユニット三角相似とは \(A= LBU\)（\(L\) は単位下三角、\(U\) は単位上三角）で表される関係である。

(a) 反射性・対称性・推移性を順に確認すれば同値関係であることがわかる。

(b) は置換行列の構造（各行・列に1つだけ非零）と対角行列の性質から成分比較で示せる。

(d)(e) は一意性と標準形の考え方を用いる。

解答例

(a) ユニット三角相似が同値関係であることを示す。

まず反射性は、単位行列 \(I\) が単位下三角かつ単位上三角であることから \( A = I A I \) により成立する。

対称性について、\( A = L B U \) とすると、\(L, U\) は可逆であり、それぞれの逆行列も同様に単位三角行列である。したがって \( B = L^{-1} A U^{-1} \) と書けるので成立する。

推移性について、\( A = L_1 B U_1 \), \( B = L_2 C U_2 \) とすると \( A = L_1 L_2 \, C \, U_2 U_1 \) であり、単位三角行列の積は再び単位三角行列であるから成立する。以上より同値関係である。

(b) \( P D = P' D' \) とする。ここで \(P, P'\) は置換行列、\(D, D'\) は対角行列である。
両辺の第 \(i\) 列を比較すると、左辺は \(P\) のある列に \(D\) の対角成分を掛けたものとなる。
同様に右辺も対応する列となる。置換行列の非零構造は一意であるため、各列の非零位置は一致しなければならず、 \( P = P' \) が従う。このとき直ちに \( D = D' \) も従う。

逆に \(P=P'\) かつ \(D=D'\) ならば明らかに \(PD=P'D'\) である。

(c) 任意の非特異行列 \(A\) に対し、ガウス消去法により単位下三角行列 \(L\) を用いて \( LA = U \) （\(U\) は上三角）とできる。
さらに列操作（単位上三角行列）を用いれば、\(U\) を対角成分のみ非零の形、すなわち一般化置換行列に変形できる。
よってある単位下三角 \(L\) と単位上三角 \(U\) が存在して \( A = L^{-1} P D U^{-1} \) と書けるので、\(A\) は一般化置換行列とユニット三角相似である。

(d) 二つの一般化置換行列 \(PD\) と \(P'D'\) がユニット三角相似であるとする。
すなわち \( PD = L (P'D') U \) と書ける。このとき三角行列の作用は非零位置を変えないため、置換構造は一致しなければならない。
したがって \( P = P' \) が従う。さらに (b) より \(D=D'\) である。逆に一致すれば明らかに相似である。

(e) (c)(d) より、任意の非特異行列はある一般化置換行列にユニット三角相似であり、しかもその代表は一意である。したがって一般化置換行列全体は、\(GL(n,\mathbb{C})\) におけるユニット三角相似の同値類の代表元（標準形）を与える集合となる。