[行列解析3.5.P7]行列分解と行列式の計算

3.5.P7

3.5.問題7

行列 \( C_n = [1 / \max\{i,j\}] \in M_n(\mathbb{R}) \) が次の LU 分解を持つことを示せ：

C_n = L_n L_n^T

ここで下三角行列 \( L_n \) の要素は \( l_{ij} = 1 / \max\{i,j\} \) （\( i \ge j \)）である。結論として、\(\det L_n = (1/n!)^2 \) である。

下三角行列の行列式は対角成分の積で与えられる。

ここでは \( l_{ii}=\frac{1}{i} \) であることに注意する。

また \( C_n=L_nL_n^{\top} \) の形から正定値性も確認できるが、行列式の計算には直接関係しない。

行列 \( L_n=[l_{ij}] \) は下三角行列であり、\( i\ge j \) のとき \( l_{ij}=\frac{1}{\max\{i,j\}}=\frac{1}{i} \) である。したがって対角成分は \( l_{ii}=\frac{1}{i} \) である。

下三角行列の行列式は対角成分の積に等しいので、

\det L_n = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{i} = \frac{1}{n!}

また \( C_n=L_nL_n^{\top} \) より、

\det C_n = (\det L_n)^2

が成り立つ。したがって

\det C_n = \left(\frac{1}{n!}\right)^2

となる。ゆえに結論として \( \det L_n = \frac{1}{n!} \) であり、\( \det C_n = (1/n!)^2 \) が従う。