4.1.P17
4.1.問題17
\(A = [a_{ij}] \in M_2\) がエルミートで、固有値が \(\lambda_1, \lambda_2\) のとき、\((\lambda_1 - \lambda_2)^2 = (a_{11} - a_{22})^2 + 4|a_{12}|^2\) を示し、\(\operatorname{spread} A ≥ 2|a_{12}|\) であり、等号成立は \(a_{11} = a_{22}\) の場合に限ることを導け。
ヒント
\(2\times 2\) エルミート行列は \(\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\ \overline{a_{12}} & a_{22}\end{pmatrix}\) の形で表せる。固有値は特性方程式から求まり、\(\lambda_1 - \lambda_2\) の2乗は判別式に一致する。そこから \(|a_{12}|\) を含む形に整理する。
解答例
\(A \in M_2\) をエルミート行列とすると、
A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ \overline{a_{12}} & a_{22} \end{pmatrix}
と書ける。ただし \(a_{11}, a_{22} \in \mathbb{R}\) である。特性方程式は
\lambda^2 - (a_{11}+a_{22})\lambda + (a_{11}a_{22} - |a_{12}|^2) = 0
であるから、固有値 \(\lambda_1, \lambda_2\) は
\lambda_{1,2} = \frac{1}{2}\left( a_{11} + a_{22} \pm \sqrt{(a_{11}+a_{22})^2 - 4(a_{11}a_{22} - |a_{12}|^2)} \right)
と求まる。ここで判別式を整理すると
(a_{11}+a_{22})^2 - 4(a_{11}a_{22} - |a_{12}|^2)
= (a_{11} - a_{22})^2 + 4|a_{12}|^2
したがって
(\lambda_1 - \lambda_2)^2 = (a_{11} - a_{22})^2 + 4|a_{12}|^2
が成り立つ。
スペクトルの広がり（spread）を \(\operatorname{spread} A = |\lambda_1 - \lambda_2|\) とすると、
\operatorname{spread} A = \sqrt{(a_{11} - a_{22})^2 + 4|a_{12}|^2} \ge 2|a_{12}|
が従う。
等号成立は
(a_{11} - a_{22})^2 = 0
すなわち \(a_{11} = a_{22}\) のときに限る。
[行列解析4.1]エルミート行列の性質と特徴 (Properties and characterizations of Hermitian matrices)
4.1.1 定義（エルミート行列）4.1.2 定理（テプリッツ分解）4.1.3 定理4.1.4 定理4.1.5 定理4.1.6 定理4.1.7 定理4.1.8 定理4.1.9 定義（正定値・半正定値・不定値）4.1.10 定理4.1.11 ...
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