行列解析

4.3.問題194.3.P19　\( A \in M_n \) をエルミート行列、\( z \in \mathbb{C}^n \) とする。(4.3.9) の記法を用いると、各 \( i=1,\ldots,n \) に対して \(\lamb...

4.3.問題184.3.P18　\(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) \in M_n(\mathbb{R})\) とし、固有値がすべて異なり \(\lambda_1 \l...

4.3.問題174.3.P17　\( A = \in M_n \) がエルミートかつ三重対角行列であり、各 \( i = 1,\ldots ,n-1 \) に対して \( a_{i,i+1} \neq 0 \) と仮定する（このとき \( ...

4.3.問題164.3.P16　(a) \( A \in M_2 \) が正規行列ならば、\(\mathrm{spread}(A) \geq 2|a_{12}|\) を示し、この評価が鋭い（達成される）例を与えよ。なぜ \(\mathrm{...

4.3.問題154.3.P15　\( A \in M_n \) を半正定値行列とし、\( m \in \{1, \ldots , n\} \) とする。(a) \( V \in M_{n,m} \) が直交正規な列を持つとする。(4.3.3...

4.3.問題144.3.P14　\( r \in \{1, \ldots , n\} \) とし、\( H_n \) を \( n \times n \) のエルミート行列の実ベクトル空間とする。与えられた \( A \in H_n \) ...

4.3.問題13.3.P13境界付きエルミート行列に関するコーシーの交錯定理 (4.3.17) が、エルミート行列に対するランク1摂動の交錯定理 (4.3.9) を導くことを示す以下の証明スケッチの詳細を補え。\(z \in \mathbb...

4.3.問題124.3.P12\(A \in M\_n\) を (4.3.29) のように分割し、\(B = \in M\_m\)、\(C = \in M\_{m,n-m}\) とする。前問と同じ記法を用いる。もし \(A\) の最大の \...

4.3.問題114.3.P11\(A = \in M\_n\) とする。「小さい」列や行を持つなら、「小さい」特異値も持つことを示す以下の議論の詳細を与えよ。特異値の2乗を大きい順に並べたものを \(\sigma\_1^2 \geq \cd...

4.3.問題104.3.P10\(A = \in M\_n\) が正規行列であるとする。このとき、\(A = U \Lambda U^\*\) が成り立ち、ここで \(U = \in M\_n\) はユニタリ行列、\(\Lambda = \...

4.3.問題94.3.P9\(A \in M\_n(\mathbb{R})\) が、任意の \(x \in \mathbb{R}^n\) に対して \(x\) が \(Ax\) を主要化すると仮定する。このとき、\(A\) が二重確率行列で...

4.3.問題84.3.P8\(e \in \mathbb{R}^n\) をすべての成分が 1 のベクトルとし、\(e\_i \in \mathbb{R}^n\) を標準基底ベクトルのひとつ、さらに \(y \in \mathbb{R}^n\...

4.3.問題74.3.P7(4.3.45) の証明のスケッチを補う詳細を与えよ。この証明は次元に関する帰納法を用い、コーシーの交錯定理を利用する。\(n=1\) の場合は自明とする。\(n-1\) サイズのエルミート行列に対して主張される主...

4.3.問題64.3.P6\(A = \in M\_n\) がエルミートで、最小固有値 \(\lambda\_1\)、最大固有値 \(\lambda\_n\) を持つとする。ある \(i \in \{1,\ldots,n\}\) に対し、も...

4.3.問題54.3.P5\(A \in M\_n\) をエルミートとし、\(a\_k = \det A\) をサイズ \(k\) の主要小行列式とする (\(k=1,\ldots,n\))。すべての \(a\_k \neq 0\) である...

4.3.問題44.3.P4\(A, B \in M\_n\) がエルミートで、かつ \(A-B\) が非負の固有値しか持たないとする。このとき、すべての \(i = 1, \ldots, n\) に対して \(\lambda\_i(A) \...

4.3.問題34.3.P3 \(A, B \in M\_n\) がエルミートであり、その固有値が (4.2.1) のように並べられているとする。このとき、次が成り立つ理由を説明せよ。\lambda\_i(A+B) \leq \min \{ ...

4.3.問題24.3.P2次の行列を考える。A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quadB = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bma...

4.3.問題14.3.P1行列 \(A, B \in M\_n\) をエルミートとする。(4.3.1) を用いて、すべての \(i = 1, \ldots, n\) に対して次を示せ。\lambda\_1(B) \leq \lambda\_...

4.3.問題集4.3.P1 行列 \(A, B \in M\_n\) をエルミートとする。(4.3.1) を用いて、すべての \(i = 1, \ldots, n\) に対して次を示せ。\lambda\_1(B) \leq \lambda\...

4.3.53定理 4.3.53. \(A, B \in M_n\) をエルミート行列とし、それぞれの固有値ベクトルを \(\lambda(A) = _{i=1}^n\)、\(\lambda(B) = _{i=1}^n\) とする。このとき、...

4.3.51補題 4.3.51. \(x = , y = , w = \in \mathbb{R}^n\) とする。もし \(x\) が \(y\) をメジャライズするならば、次が成り立つ。\sum_{i=1}^n w_i^{\downar...

4.3.50定理 4.3.50. \(x = \in \mathbb{R}^n\)、\(z = \in \mathbb{C}^n\) を与える。このとき、次の2つは同値である：(a) \(x\) は \(\mathrm{Re}\, z = ...

4.3.49定理 4.3.49. \(n \ge 2\) とし、ベクトル \(x=\in\mathbb{R}^n\) および \(y=\in\mathbb{R}^n\) を与える。次の3条件は同値である：(a) \(x\) は \(y\) ...

4.3.48定理 4.3.48. \( n \ge 1 \) とし、\( x = \in \mathbb{R}^n \)、\( y = \in \mathbb{R}^n \) が与えられ、\( x \) が \( y \) をメジャライズす...

4.3.47定理 4.3.47. \( A, B \in M_n \) をエルミート行列とする。それぞれの固有値ベクトルを λ(A), λ(B), λ(A + B) とする。このとき以下が成り立つ：(a) (Fan) \( \lambda(...

4.3.45定理 4.3.45（Schur）. \( A = \in M_n \) をエルミート行列とする。その固有値のベクトル\lambda(A) = _{i=1}^nは、主対角成分のベクトルd(A) = _{i=1}^nをメジャライズす...

4.3.43定義（非増加順整列・非減少順整列）定義 4.3.43. \( z = \in \mathbb{R}^n \) とする。\( z \) の非増加順整列とは、\( z \) の成分（重複を含む）を大きい順に並べ替えたベクトルz^\d...

4.3.41定義 4.3.41. \( x = \in \mathbb{R}^n \)、\( y = \in \mathbb{R}^n \) とする。次が成り立つとき、\( x \) は \( y \) を メジャライズ（majorize）...

4.3.39系 4.3.39. \(A \in M\_n\) をエルミート行列とし、\(1 \leq m \leq n\) とする。このとき次が成り立つ。\lambda\_{1}(A) + \cdots + \lambda\_{m}(A)=...