4.3.P15
4.3.問題15
\( A \in M_n \) を半正定値行列とし、\( m \in \{1, \ldots , n\} \) とする。
系 4.3.37.
\(A \in M_n\) をエルミート行列とし、\(1 \leq m \leq n\) とする。
さらに、\(u_1, \ldots, u_m \in \mathbb{C}^n\) を直交規格化されたベクトルとする。このとき
B_m = [u_i^{*}Au_j]_{i,j=1}^m \in M_mとおく。
ここで \(A\) と \(B_m\) の固有値は (4.2.1) のように並べる。このとき次が成り立つ。
(4.3.38)\lambda_i(A) \leq \lambda_i(B\_m) \leq \lambda_{i+n-m}(A), \quad i = 1, \ldots, m
(a) \( V \in M_{n,m} \) が直交正規な列を持つとする。(4.3.37) を用いて次を示せ：
\lambda_1(A)\cdots \lambda_m(A) \leq \det(V^*AV) \leq \lambda_{n-m+1}(A)\cdots \lambda_n(A)
(b) \( X \in M_{n,m} \) の場合、次を示せ：
\lambda_1(A)\cdots \lambda_m(A)\det(X^*X) \leq \det(X^*AX) \leq
\lambda_{n-m+1}(A)\cdots \lambda_n(A)\det(X^*X)
ヒント
\( V \) が直交正規な列を持つとき、 \( V^*AV \) の固有値は \( A \) の固有値にはさまれる。 (4.3.37) より、 \( V^*AV \) の固有値の積である行列式は、 \( A \) の最小 \( m \) 個および最大 \( m \) 個の固有値の積にはさまれる。 また一般の \( X \) に対しては、 QR 分解 \( X=VR \) を用いると \( X^*AX \) と \( X^*X \) の行列式を比較できる。
解答例
(a) を示す。 \( V\in M_{n,m} \) が直交正規な列を持つとする。 したがって
V^*V=I_m
である。 \( V^*AV \) は \( m\times m \) エルミート行列であり、 その固有値を
\mu_1\leq \mu_2\leq \cdots \leq \mu_m
とする。 (4.3.37) より、
\lambda_i(A)\leq \mu_i\leq \lambda_{n-m+i}(A)
\qquad (i=1,\ldots,m)
が成り立つ。 \( A \) は半正定値であるから、 すべての固有値は非負である。 したがって各辺を掛け合わせると、
\lambda_1(A)\cdots \lambda_m(A)
\leq
\mu_1\cdots \mu_m
\leq
\lambda_{n-m+1}(A)\cdots \lambda_n(A)
を得る。 ここで \( \mu_1\cdots \mu_m=\det(V^*AV) \) であるから、
\lambda_1(A)\cdots \lambda_m(A)
\leq
\det(V^*AV)
\leq
\lambda_{n-m+1}(A)\cdots \lambda_n(A)
が従う。
次に (b) を示す。 まず \( X \) の列ランクが \( m \) 未満ならば、
\det(X^*X)=0, \qquad \det(X^*AX)=0
であるから、不等式は自明に成り立つ。 したがって以下では \( X \) が列フルランクであると仮定する。
QR 分解により、
X=VR
と書ける。ただし \( V\in M_{n,m} \) は直交正規な列を持ち、 \( R\in M_m \) は正則上三角行列である。 すると
X^*AX = R^*V^*AVR
より、
\det(X^*AX) = \det(R^*)\det(V^*AV)\det(R) = |\det(R)|^2\det(V^*AV)
を得る。 また
X^*X = R^*V^*VR = R^*R
であるから、
\det(X^*X)=|\det(R)|^2
となる。 したがって (a) の結果を用いると、
\begin{aligned}
\det(X^*AX)
&=
\det(V^*AV)\det(X^*X)
\\
&\geq
\lambda_1(A)\cdots \lambda_m(A)\det(X^*X)
\end{aligned}
および
\begin{aligned}
\det(X^*AX)
&=
\det(V^*AV)\det(X^*X)
\\
&\leq
\lambda_{n-m+1}(A)\cdots \lambda_n(A)\det(X^*X)
\end{aligned}
を得る。 ゆえに
\lambda_1(A)\cdots \lambda_m(A)\det(X^*X)
\leq
\det(X^*AX)
\leq
\lambda_{n-m+1}(A)\cdots \lambda_n(A)\det(X^*X)
が成り立つ。
行列解析の総本山
総本山の目次📚
記号の意味🔎
コメント