[行列解析4.3.P18]階数1摂動による固有値の厳密な挟み込み

4.3.P18　

4.3.問題18
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4.3.問題18

\(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) \in M_n(\mathbb{R})\) とし、固有値がすべて異なり \(\lambda_1 \lt \cdots \lt \lambda_n\) であると仮定する。\( z \in \mathbb{C}^n \) の成分がすべて 0 でないとき、次が成り立つ理由を説明せよ：

\lambda_1 \lt \lambda_1(\Lambda+zz^*) \lt \cdots \lt \lambda_{n-1}(\Lambda+zz^*) \lt \lambda_n \lt \lambda_n(\Lambda+zz^*)

（すべての不等式は厳密である）。

ヒント

行列 \(zz^*\) は半正定値で階数1であるから、コーシーの挟み込み定理より \( \lambda_i \le \lambda_i(\Lambda+zz^*) \le \lambda_{i+1} \) が成り立つ。厳密不等式であることを示すには、等号が成立すると仮定して矛盾を導けばよい。固有値がすべて異なり、さらに \(z\) の各成分がすべて 0 でないことを用いるのがポイントである。

解答例

まず、\(zz^*\) は半正定値エルミート行列であり階数は1である。したがって、コーシーの挟み込み定理より、

\lambda_i \le \lambda_i(\Lambda+zz^*) \le \lambda_{i+1}, \qquad i=1,\ldots,n-1,

および \( \lambda_n \le \lambda_n(\Lambda+zz^*) \) が成り立つ。

次に、左側の等号が成立すると仮定する。すなわち \( \lambda_i(\Lambda+zz^*)=\lambda_i \) とする。このとき、ある 0 でないベクトル \(x\) が存在して \( (\Lambda+zz^*)x=\lambda_i x \) を満たす。

(\Lambda-\lambda_i I)x=-zz^*x

となる。左辺の第 \(i\) 成分は常に 0 であるので、第 \(i\) 成分について調べると \( z_i(z^*x)=0 \) を得る。仮定より \(z_i\neq0\) であるから \( z^*x=0 \) となる。したがって

(\Lambda-\lambda_i I)x=0

となる。固有値はすべて異なるので、\(x\) は標準基底 \(e_i\) の定数倍である。しかし \(z^*x=0\) より \(z_i=0\) となり、これは仮定に反する。したがって \( \lambda_i(\Lambda+zz^*)=\lambda_i \) は起こりえない。

同様に \( \lambda_i(\Lambda+zz^*)=\lambda_{i+1} \) と仮定すると、固有ベクトルは \(e_{i+1}\) の定数倍となり、 \(z_{i+1}=0\) を導いて矛盾する。したがって

\lambda_i < \lambda_i(\Lambda+zz^*) < \lambda_{i+1}, \qquad i=1,\ldots,n-1.

最後に、もし \( \lambda_n(\Lambda+zz^*)=\lambda_n \) ならば同様の議論から固有ベクトルは \(e_n\) の定数倍となり、 \(z_n=0\) が従って矛盾する。したがって \( \lambda_n(\Lambda+zz^*)>\lambda_n \) である。

以上より、