4.3.P17
4.3.問題17
\( A = [a_{ij}] \in M_n \) がエルミートかつ三重対角行列であり、各 \( i = 1,\ldots ,n-1 \) に対して \( a_{i,i+1} \neq 0 \) と仮定する（このとき \( A \) は縮約されない (0.9.9) であり、またエルミートなので既約 (6.2.22) でもある）。
B \in M_n\text{をエルミート行列},
y \in \mathbb{C}^n,
a \in \mathbb{R} \text{を与えられたものとし}\\
A =
\begin{bmatrix}
B & y \\
y^* & a
\end{bmatrix}
∈ M_{n+1}\text{とすると}
\\
\;\\
λ_1(A) ≤ λ_1(B) ≤ λ_2(A) ≤ ··· ≤ λ_n(A) ≤ λ_n(B) ≤ λ_{n+1}(A)
この問題では、相補不等式 (4.3.18) がすべて厳密不等式であることの2つの証明と、
\( A \) が相異なる固有値を持つことの3つの証明を与える。
(a) \( x=[x_i] \) を \( A \) の固有ベクトルとする。
\( x_n \neq 0 \) を示せ。
(b) \(\hat{A}\) を \( A \) の \( (n-1)\times(n-1) \) の主小行列とする。
(4.3.17) の等号成立条件を用いて、\( A \) と \(\hat{A}\) の固有値に関する相補不等式 (4.3.18) がすべて厳密不等式となることを示せ。
(c) (b) から、\( A \) が相異なる固有値を持つことを導け。
(d) (1.4.P11) を用いて、別の方法で \( A \) が相異なる固有値を持つことを示せ。
(e) \( p_k(t) \) を \( A \) の左上 \( k\times k \) 主小行列の特性多項式とし、
\( p_0(t)=1 \) とする。
このとき、\( p_1(t)=t-a_{11} \)、さらに \( k=2,\ldots,n \) に対して
p_k(t) = (t-a_{kk})p_{k-1}(t) - |a_{k-1,k}|^2 p_{k-2}(t)
を示せ。
(f) (e) を用いて、\( A \) と \(\hat{A}\) の固有値に関する相補不等式 (4.3.18) がすべて厳密不等式であることを示し、\( A \) が相異なる固有値を持つことを導け。
ヒント
三重対角行列の固有ベクトルに対しては、成分間に漸化式が現れる。 特に最下成分が 0 だと順にすべての成分が 0 となってしまう。 また、主小行列との相補不等式では、等号成立条件として共通固有ベクトルの存在を用いる。 特性多項式については、最終行で余因子展開を行うと三項漸化式が得られる。
解答例
(a) を示す。
\( x=[x_i]\neq 0 \) を \( A \) の固有値 \( \lambda \) に属する固有ベクトルとする。
Ax=\lambda x
より、第 \( n \) 成分について
a_{n,n-1}x_{n-1}+a_{nn}x_n=\lambda x_n
を得る。 もし \( x_n=0 \) ならば、 \( a_{n,n-1}\neq 0 \) より
x_{n-1}=0
となる。 さらに第 \( n-1 \) 成分を見ると、
a_{n-1,n-2}x_{n-2}+a_{n-1,n}x_n+a_{n-1,n-1}x_{n-1}
=
\lambda x_{n-1}
であり、 \( x_n=x_{n-1}=0 \) より
a_{n-1,n-2}x_{n-2}=0
となる。 \( a_{n-1,n-2}\neq 0 \) より \( x_{n-2}=0 \) である。 同様に逆向きに繰り返すと、
x_{n-3}=x_{n-4}=\cdots=x_1=0
を得る。 したがって \( x=0 \) となり矛盾である。 よって
x_n\neq 0
が成り立つ。
(b) を示す。
\( \hat{A} \) を \( A \) の左上 \( (n-1)\times(n-1) \) 主小行列とする。 相補不等式より、 \( A \) の固有値
\lambda_1\leq \lambda_2\leq \cdots \leq \lambda_n
と \( \hat{A} \) の固有値
\mu_1\leq \mu_2\leq \cdots \leq \mu_{n-1}
について
\lambda_i\leq \mu_i\leq \lambda_{i+1}
\qquad (i=1,\ldots,n-1)
が成り立つ。 もしある \( i \) で等号
\mu_i=\lambda_i
\quad \text{または} \quad
\mu_i=\lambda_{i+1}
が成立すると、相補不等式の等号成立条件より、 \( A \) と \( \hat{A} \) は共通固有ベクトルを持つ。 したがって \( \hat{A}y=\mu_i y \) を満たす \( y\neq 0 \) に対して、
x=
\begin{pmatrix}
y\\
0
\end{pmatrix}
は \( A \) の固有ベクトルとなる。 しかしこれは \( x_n=0 \) を意味し、(a) に反する。 よってすべての不等式は厳密であり、
\lambda_i<\mu_i\lt \lambda_{i+1}
\qquad (i=1,\ldots,n-1)が成り立つ。
(c) を示す。
(b) より、
\lambda_i<\lambda_{i+1}
\qquad (i=1,\ldots,n-1)である。 したがって \( A \) の固有値はすべて相異なる。
(d) を示す。
(1.4.P11) より、エルミート行列の各固有空間の次元は、その固有値の幾何学的重複度に等しい。
もし \( A \) が重複固有値 \( \lambda \) を持つなら、その固有空間の次元は少なくとも \( 2 \) である。
したがって \( \lambda \) に属する固有ベクトルの中で、 最終成分が \( 0 \) となるものを取ることができる。
しかし (a) により、固有ベクトルは必ず \( x_n\neq 0 \) を満たすので矛盾する。
よって \( A \) の固有値はすべて相異なる。
(e) を示す。
\( p_k(t) \) を \( A \) の左上 \( k\times k \) 主小行列 \( A_k \) の特性多項式とする。 すなわち
p_k(t)=\det(tI_k-A_k)
である。 明らかに
p_0(t)=1,
\qquad
p_1(t)=t-a_{11}
である。 \( k\geq 2 \) とする。 三重対角性を用いて \( tI_k-A_k \) の最後の行で余因子展開すると、
\begin{aligned}
p_k(t)
&=
(t-a_{kk})p_{k-1}(t)
-
(-a_{k,k-1})(-a_{k-1,k})p_{k-2}(t)
\\
&=
(t-a_{kk})p_{k-1}(t)
-
|a_{k-1,k}|^2p_{k-2}(t)
\end{aligned}
を得る。
(f) を示す。
\( \hat{A} \) の特性多項式は \( p_{n-1}(t) \) であり、 \( A \) の特性多項式は \( p_n(t) \) である。 \( \mu \) を \( \hat{A} \) の固有値とすると、
p_{n-1}(\mu)=0
である。
(e) の漸化式より、
p_n(\mu)
=
-|a_{n-1,n}|^2p_{n-2}(\mu)
を得る。 ここで \( a_{n-1,n}\neq 0 \) であるから、 もし \( p_n(\mu)=0 \) なら
p_{n-2}(\mu)=0
となる。 同様に漸化式を繰り返し用いると、
p_{n-3}(\mu)=\cdots=p_0(\mu)=0
となるが、 \( p_0(t)=1 \) であるから矛盾する。
したがって \( p_n(\mu)\neq 0 \) であり、 \( A \) と \( \hat{A} \) は共通固有値を持たない。 よって相補不等式
\lambda_i\leq \mu_i\leq \lambda_{i+1}
の等号は起こらず、
\lambda_i<\mu_i \lt \lambda_{i+1}
\qquad (i=1,\ldots,n-1)が成り立つ。 特に
\lambda_i \lt \lambda_{i+1}
\qquad (i=1,\ldots,n-1)となるので、 \( A \) の固有値はすべて相異なる。
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