4.3.P4
4.3.問題4
\(A, B \in M\_n\) がエルミートで、かつ \(A-B\) が非負の固有値しか持たないとする。このとき、すべての \(i = 1, \ldots, n\) に対して \(\lambda_i(A) \geq \lambda_i(B)\) が成り立つ理由を説明せよ。
ヒント
条件 \( A-B \) が非負の固有値しか持たないとは、\( A-B \) が半正定値であることを意味する。 ヴェイアの定理において、行列 \( A = B + (A-B) \) とみなし、 固有値の評価 \( \lambda_i(B+C) \geq \lambda_i(B) + \lambda_1(C) \) を用いるとよい。 ここで \( C = A-B \) とおく。
解答例
仮定より、\( A-B \) はエルミートであり、その固有値はすべて非負である。 したがって \( \lambda_1(A-B) \geq 0 \) が成り立つ。
ここで \( A = B + (A-B) \) と表す。 ヴェイアの定理より
\lambda_i(B + (A-B)) \geq \lambda_i(B) + \lambda_1(A-B)
が成り立つ。
左辺は \( \lambda_i(A) \) に等しいので、
\lambda_i(A) \geq \lambda_i(B) + \lambda_1(A-B)
を得る。
さらに \( \lambda_1(A-B) \geq 0 \) であるから、
\lambda_i(A) \geq \lambda_i(B)
が従う。
したがって、すべての \( i=1,\ldots,n \) に対して \( \lambda_i(A) \geq \lambda_i(B) \) が成り立つ。
[行列解析4.3]エルミート行列に関する固有値の不等式
この節の目次4.3.1 定理（ヴェイアの定理）4.3.3 系4.3.5 系4.3.7 系4.3.9 系4.3.12 系4.3.15 系4.3.17 定理（Cauchy）4.3.21 定理4.3.26 定理4.3.28 定理4.3.34 系4...
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