4.3.P6
4.3.問題6
\(A = [a_{ij}] \in M_n\) がエルミートで、最小固有値 \(\lambda_1\)、最大固有値 \(\lambda_n\) を持つとする。
ある \(i \in \{1,\ldots,n\}\) に対し、もし \(a_{ii} = \lambda_1\) または \(a_{ii} = \lambda_n\) であるなら、(4.3.34) を用いて、すべての \(k \neq i\) に対して \(a_{ik} = a_{ki} = 0\) であることを示せ。
もし主対角成分が \(\lambda_1\)、\(\lambda_n\) 以外の固有値である場合、特別なことは起こるか？
ヒント
エルミート行列に対してはレイリー商の評価 \( \lambda_1 \leq \frac{x^{\top} A x}{x^{\top} x} \leq \lambda_n \) が成り立つ。 標準基底ベクトル \( e_i \) を用いると \( a_{ii} = e_i^{\top} A e_i \) である。
等号成立条件を調べると、固有ベクトルの条件が得られる。
解答例
エルミート行列 \( A \) に対して、任意のベクトル \( x \neq 0 \) について
\lambda_1 \leq \frac{x^{\top} A x}{x^{\top} x} \leq \lambda_n
が成り立つ。 ここで標準基底ベクトル \( e_i \) を取ると、
a_{ii} = e_i^{\top} A e_i
であるから、
\lambda_1 \leq a_{ii} \leq \lambda_n
が従う。
まず \( a_{ii} = \lambda_1 \) の場合を考える。 このときレイリー商が最小値をとるので、等号成立条件より \( e_i \) は固有値 \( \lambda_1 \) に属する固有ベクトルである。 したがって
A e_i = \lambda_1 e_i
が成り立つ。
左辺を成分表示すると
A e_i =
\begin{bmatrix}
a_{1i} \\
a_{2i} \\
\vdots \\
a_{ni}
\end{bmatrix}
であるから、
a_{ki} = 0 \quad (k \neq i), \quad a_{ii} = \lambda_1
が従う。 エルミート性より \( a_{ik} = \overline{a_{ki}} \) であるから、 すべての \( k \neq i \) に対して \( a_{ik} = a_{ki} = 0 \) となる。
同様に \( a_{ii} = \lambda_n \) の場合には、\( e_i \) は最大固有値に属する固有ベクトルとなり、 同様の議論により
a_{ik} = a_{ki} = 0 \quad (k \neq i)
が成り立つ。
一方、\( a_{ii} \) が \( \lambda_1 \) や \( \lambda_n \) 以外の固有値と一致する場合には、 レイリー商が極値をとるとは限らないため、 \( e_i \) が固有ベクトルであるとは限らない。
したがって、この場合には特に \( a_{ik} = 0 \) が従うとは限らず、特別な構造は一般には得られない。
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