4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.1]エルミート行列の性質と特徴 (Properties and characterizations of Hermitian matrices)
4.1.1 定義4.1.2
saikorodeka
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.0.6]例
4.0.6例 4.0.6.行列 \(A = \in M_n(\mathbb{R})\) を考え、実二重線形形式を定義する：Q(x, y) = y^T A x = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} y_i x_j , \quad...
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.0.5]例
4.0.5例 4.0.5. 無向グラフ \(\Gamma\) を考える。これは、ノードの集合 \(N = \{P_1, P_2, \dots, P_n\}\) と、ノードの順序を持たないペアの集合（辺） \(E = \{\{P_{i_1},...
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.0.3]例
4.0.3例 4.0.3. 次の二階線形偏微分作用素 \(L\) を考える：(4.0.4)L f(x) = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}(x) \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_i \pa...
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.0.2]
4.0.2例 4.0.2. 行列 \( A = \in M_n \) が実または複素数の成分を持つとする。このとき、\(A\) によって生成される \(\mathbb{R}^n\) または \(\mathbb{C}^n\) 上の二次形式を考...
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.0.1]
4.0.1例 4.0.1. 関数 \( f : D \to \mathbb{R} \) がある領域 \( D \subset \mathbb{R}^n \) 上で二階連続微分可能であるとする。このとき、実行列H(x) = = \left[\...
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.0]はじめに
4.0.1 例4.0.2 例
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4]エルミート行列、対称行列、合同行列
4.エルミート行列、対称行列、合同行列目次4.0 はじめに (Introduction)4.1 エルミート行列の性質と特徴 (Properties and characterizations of Hermitian matrices)4....
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.5.P13]
3.5.問題133.5.P13補零定理（law of complementary nullities, 0.7.5）に関する次のアプローチの詳細を示せ。この方法は、LPU 分解を用いて、一般の場合を（簡単な）置換行列の場合から導くものである...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.5.P12]
3.5.問題12習 3.5.P12.\( P \in M_n \) を次のように分割する：P = \begin{bmatrix} P_{11} & P_{12} \\ P_{21} & P_{22} \end{bmatrix}, \quad...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.5.P11]
3.5.問題11演習 3.5.P11.置換行列 \( P = \in M_n \) を考える。これは 1, …, n の置換 \(\pi_1, …, \pi_n\) に対応し、\( p_{\pi_j,j} = 1 \)（その他の成分は 0）...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.5.P10]
3.5.問題10演習 3.5.P10.\( A \in M_n \) が対称で、すべての先頭主小行列が非特異である場合、非特異下三角行列 \( L \) が存在して \( A = L L^T \) であることを示せ。つまり、LU 分解におい...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.5.P9]
3.5.問題9演習 3.5.P9.\( A \in M_n(\mathbb{R}) \) を次の対称三重対角行列（0.9.10）とする：\text{全主対角成分は } +2, \text{第一上三角と下三角成分は } -1次の行列を考える：...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.5.P8]
3.5.問題8演習 3.5.P8.(3.5.6) の条件「\( A \) が全て非特異」は、「\( A \) が全て非特異」に置き換え可能であることを示せ。
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.5.P7]
3.5.問題7演習 3.5.P7.行列 \( C_n = \in M_n(\mathbb{R}) \) が次の LU 分解を持つことを示せ：C_n = L_n L_n^Tここで下三角行列 \( L_n \) の要素は \( l_{ij} =...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.5.P6]
3.5.問題6演習 3.5.P6.\( M_n \) の与えられた行列の \( (n,n) \) 成分が、LU 分解の存在、L が非特異な場合、U が非特異な場合に影響を与えない理由を説明せよ。
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.5.P5]
3.5.問題5演習 3.5.P5（ランチョス三重対角化アルゴリズム）.\( A \in M_n \) と \( x \in \mathbb{C}^n \) が与えられている。次を定義する：X = 列ベクトルの集合 \( X \) はクライロ...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.5.P4]
3.5.問題4演習 3.5.P4.\( A \in M_n \) の先頭主小行列式（leading principal minors）がすべて非零である場合、タイプ3の基本行操作（diagonal 以下の成分を 0 にする）を用いて、どのよ...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.5.P3]
3.5.問題3演習 3.5.P3.\( A, B \in M_n \) をユニット三角相似（unit triangularly equivalent）であるというのは、ある単位下三角行列 \( L \) と単位上三角行列 \( U \) が...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.5.P2]
3.5.問題2演習 3.5.P2.\( A \) が \( A = QR \) の形で与えられ、\( Q \) がユニタリ行列、\( R \) が上三角行列である場合（2.1.14）、どのようにして方程式 \( Ax = b \) を解くか...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.5.P1]
3.5.問題1演習 3.5.P1.これまで、\( L \) が下三角行列で \( U \) が上三角行列である \( A = LU \) の分解について議論してきた。ここで、因子が異なる場合もあることに注意しながら、\( A = UL \)...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.5]問題集
3.5問題集3.5.P1これまで、\( L \) が下三角行列で \( U \) が上三角行列である \( A = LU \) の分解について議論してきた。ここで、因子が異なる場合もあることに注意しながら、\( A = UL \) 分解の平...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.5.14]定理（LPDU 分解）
定理 3.5.14（LPDU 分解）.定理 3.5.14（LPDU 分解）. 任意の非特異行列 \( A \in M_n \) に対して、一意的な置換行列 \( P \)、一意的な非特異対角行列 \( D \)、単位下三角行列 \( L \...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.5.13]定理
3.5.13定理定理 3.5.13. \( A, B \in M_n \) を非特異行列とする。次の条件は同値である：(a) \( M_n \) の置換行列 \( P \) が一意に存在して、\( A \) と \( B \) の両方が \...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.5.12]定義
3.5.12定義定義 3.5.12. 行列 \( A, B \in M_n \) が三角相似（triangularly equivalent）であるとは、次の条件を満たす場合をいう。すなわち、正則行列 \( L, U \in M_n \) ...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.5.11]定理
3.5.11定理定理 3.5.11（LPU分解）．任意の \( A \in M_n \) に対して、置換行列 \( P \in M_n \)、単位下三角行列 \( L \in M_n \)、および上三角行列 \( U \in M_n \) ...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.5.8]定理
3.5.8定理定理 3.5.8（PLU分解）．任意の \( A \in M_n \) に対して、置換行列 \( P \in M_n \)、単位下三角行列 \( L \in M_n \)、および上三角行列 \( U \in M_n \) が存...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.5.7]補題
3.5.7補題補題 3.5.7. \( A \in M_k \) が非特異であるとする。このとき、置換行列 \( P \in M_k \) が存在して、任意の \( j = 1, \ldots, k \) に対して\det \big( (P...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.5.6]系
3.5.6系系 3.5.6（LDU分解）。行列 \( A = \in M_n \) を考える。(a) \( A \) が非特異であると仮定する。このとき、\( A \) が LU 分解 \( A = LU \) を持つのは、任意の \( i...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.5.5]例
3.5.5例 3.5.5. すべての行列がLU分解を持つとは限らない。たとえばA =\begin{bmatrix}0 & 1 \\1 & 0\end{bmatrix}が \( A = LU \) と書けると仮定する：L =\begin{bm...