3.5.P13
3.5.問題13
補零定理（law of complementary nullities, 0.7.5）に関する次のアプローチの詳細を示せ。この方法は、LPU 分解を用いて、一般の場合を（簡単な）置換行列の場合から導くものである。
(a) \( A \in M_n \) を非特異行列とする。\( A \) と \( A^{-1} \) を次のように適合的に分割する：
A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}, \quad
A^{-1} = \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{bmatrix}
補零定理は次を主張する：
\text{nullity } A_{11} = \text{nullity } B_{22}
これは我々が証明すべき内容である。
(b) \( A = L P U \) を LPU 分解とする。このとき、
A^{-1} = U^{-1} P^{\top} L^{-1}
も LPU 分解である。両方の分解における置換行列の因子は一意に決まる。P を前問と同様に、A の分割に適合するように分割する。
(c) すると次が成り立つ：
\text{nullity } A_{11} = \text{nullity } P_{11} = \text{nullity } P_{22}^{\top} = \text{nullity } B_{22}
ヒント
補零定理はブロック行列に対する核の次元の関係を述べるものである。一般の行列については直接扱いにくいが、\( A = LPU \) 分解を用いることで、問題を置換行列の場合に帰着できる。特に、下三角行列と上三角行列は階数や零空間の次元を変えないことに注意するとよい。
解答例
(a) \( A \in M_n \) を非特異とし、分割 \( A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} \), \( A^{-1} = \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{bmatrix} \) を考える。補零定理は \( \text{nullity } A_{11} = \text{nullity } B_{22} \) を主張する。
(b) \( A = L P U \) を LPU 分解とする。このとき \( L \) は単位下三角行列、\( U \) は単位上三角行列、\( P \) は置換行列である。逆行列は
A^{-1} = U^{-1} P^{\top} L^{-1}
と表される。ここで \( U^{-1} \) と \( L^{-1} \) もそれぞれ上三角・下三角行列であるため、これも LPU 分解の形になっている。また、置換行列 \( P \) は一意に定まる。
(c) 行列 \( L \) と \( U \) はともに可逆な三角行列であり、これらとの積は部分行列の階数や零空間の次元を変えない。したがって、 \( A \) のブロック構造に対応する部分についても、
\text{nullity } A_{11} = \text{nullity } P_{11}
が成り立つ。同様に、逆行列の分解においても同じ議論により、
\text{nullity } B_{22} = \text{nullity } P_{22}^{\top}
が得られる。
ここで、置換行列に対しては既に \( \text{nullity } P_{11} = \text{nullity } P_{22}^{\top} \) が成立することが知られている（前問の結果）。したがって、
\text{nullity } A_{11}
= \text{nullity } P_{11}
= \text{nullity } P_{22}^{\top}
= \text{nullity } B_{22}
となり、補零定理が一般の非特異行列に対しても成立することが示された。
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