4.3.P23
4.3.問題23
与えられた \(x, y \in \mathbb{R}^n\) について、(4.3.47a,b) を用いて次を一行で証明せよ。
- (a) \(x + y\) は \(x^{\downarrow} + y^{\downarrow}\) によりメジャライズされる。
- (b) \(x + y\) は \(x^{\downarrow} + y^{\uparrow}\) をメジャライズする。
これら2つのメジャライゼーションを、(4.3.47) を用いずに証明できるか？
ヒント
対角行列 \(A=\operatorname{diag}(x)\)、\(B=\operatorname{diag}(y)\) を考えると、その固有値ベクトルはそれぞれ \(x\)、\(y\) である。
また \(A+B=\operatorname{diag}(x+y)\) の固有値ベクトルは \(x+y\) である。これを定理4.3.47にそのまま適用すればよい。
解答例
対角行列 \( A=\operatorname{diag}(x) \), \( B=\operatorname{diag}(y) \) を考える。
このとき \( \lambda(A)=x \), \( \lambda(B)=y \), \( \lambda(A+B)=x+y \) である。
(a)
Fan の定理（定理4.3.47(a)）より、
x^{\downarrow}+y^{\downarrow}
=
\lambda(A)^{\downarrow}
+\lambda(B)^{\downarrow}
\succ
\lambda(A+B)
=
x+y
となる。したがって、\(x+y\) は \(x^{\downarrow}+y^{\downarrow}\) によりメジャライズされる。
(b)
Lidskii の定理（定理4.3.47(b)）より、
x+y
=
\lambda(A+B)
\succ
\lambda(A)^{\downarrow}
+\lambda(B)^{\uparrow}
=
x^{\downarrow}
+
y^{\uparrow}
となる。したがって、\(x+y\) は \(x^{\downarrow}+y^{\uparrow}\) をメジャライズする。
なお、これら2つのメジャライゼーションは定理4.3.47を用いなくても証明できる。
実際、(a) は Hardy-Littlewood-Pólya の不等式や置換に関する再配列不等式から導かれ、(b) も同様にメジャライゼーションの基本性質や再配列不等式を用いて直接証明できる。
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