[行列解析4.3.P22]行列 \(A=[a_i+a_j]\) の固有値の符号

4.3.P22　

4.3.問題22

\( a_1,\ldots,a_n \) を相異なる正の実数（ただし全て等しくはない）とする。このとき

A = [a_i+a_j]_{i,j=1}^n \in M_n(\mathbb{R})

と定義する。

一般的な原理から、この行列 \( A \) が正の固有値を1つ、負の固有値を1つだけ持つことを説明せよ。

行列 \(A\) は 2 本のベクトルの外積の和として表すことができる。この表示から \(A\) の階数は高々2である。また、対応する \(2\times2\) 行列の固有値を調べると正と負の固有値を1つずつもつことが分かる。階数と Sylvester の慣性法則を用いれば結論が従う。

\(e=(1,\ldots,1)^{\top}\)、\(a=(a_1,\ldots,a_n)^{\top}\) とおくと、

A = ae^{\top} + ea^{\top}

と表される。したがって、

\operatorname{rank}(A) \le 2

である。一方、\(a_1,\ldots,a_n\) は互いに異なるので、ベクトル \(a\) と \(e\) は一次独立であり、したがって \( \operatorname{rank}(A)=2 \) となる。

さらに、

A = XCX^{\top}, \qquad X= \begin{bmatrix} a & e \end{bmatrix}, \qquad C= \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}

と書ける。

行列 \(C\) の固有値は

1,\quad -1

であり、正負それぞれ1つずつの固有値をもつ。

また、\(X\) は列フルランクであるから、Sylvester の慣性法則により、\(A=XCX^{\top}\) は \(C\) と同じ慣性指数をもつ。したがって、\(A\) の非零固有値は正が1個、負が1個である。

さらに \( \operatorname{rank}(A)=2 \) であるから、残りの \(n-2\) 個の固有値はすべて 0 である。

以上より、行列 \(A\) は正の固有値を1つ、負の固有値を1つだけもち、その他の固有値はすべて0である。