3.標準形と三角因子分解

3.3.15定理 3.3.15. \( A \in M_n \) の最小多項式を \( q_A(t) \)、特性多項式を \( p_A(t) \) とする。このとき、次の条件は同値である：(a) \( q_A(t) \) の次数が \( n...

3.3.14定理 3.3.14. 任意のモニック多項式は、そのコンパニオン行列に対して最小多項式であり、かつ特性多項式でもある。もし \( A \in M_n \) の最小多項式の次数が \( n \) であるならば、式 (3.3.7) に...

3.3.13系(3.3.10)より、次のコンパニオン行列が定義できる。定義 3.3.13. 行列 (3.3.12) は、多項式 (3.3.11) のコンパニオン行列(companion matrix)である。コンパニオン行列コンパニオン行列...

3.3.10系 3.3.10. \( A \in M_n \) とし、その最小多項式を \( q_A(t) \) とする。このとき次の条件は同値である。(a) \( q_A(t) \) が互いに異なる一次因子の積である。(b) \( A \...

3.3.8系 3.3.8.\( A \in M_n \) が異なる固有値 \( \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_d \) をもつとする。このとき次の多項式を考える。q(t) = (t - \lam...

3.3.6定理 3.3.6. \( A \in M_n \) を与えられた行列とし、その異なる固有値を \( \lambda_1, \ldots, \lambda_d \) とする。このとき、\( A \) の最小多項式は次の形で与えられる...

3.3.4系系 3.3.4. 各 \( A \in M_n \) に対して、最小多項式 \( q_A(t) \) は特性多項式 \( p_A(t) \) を割る。また、\( q_A(\lambda) = 0 \) であることと、\( \la...

3.3.3系\( A \in M_n \) が与えられたとき、\( A \) を消去する最小次数の一意なモニック多項式 \( q_A(t) \) を、\( A \) の最小多項式（minimal polynomial）と呼ぶ。系 3.3.3...

3.3.2定義 3.3.2. \( A \in M_n \) が与えられたとき、\( A \) を消去する最小次数の一意なモニック多項式 \( q_A(t) \) を、\( A \) の最小多項式（minimal polynomial）と呼...

3.3.1定理定理 3.3.1. \( A \in M_n \) が与えられたとき、\( A \) を消去する最小次数の一意なモニック多項式 \( q_A(t) \) が存在する。\( q_A(t) \) の次数は最大で \( n \) で...

3.2 注と参考文献注と参考文献:最適性の性質 (3.2.9.4) と等号成立の場合の特徴づけについては、R. Brualdi, P. Pei, and X. Zhan, An extremal sparsity property of t...

3.2問題373.2.P37行列 \( A \in M_n \) が半収束 (semiconvergent) であるとは、\(\lim_{k \to \infty} A^k\) が存在することをいう。(a) \( A \) が半収束であるの...

3.2問題363.2.P36\( A \in M_n \) が coninvolutory、すなわち \( A \) が非特異で \( A = \overline{A}^{-1} \) を満たすとする。(a) このとき \( A \) のジ...

3.2問題353.2.P35この問題は (2.5.17) の部分的な逆を考察する。(a) \( A \in M_n \) が非退化 (nonderogatory) であるとする。もし \( A\overline{A} = \overline...

3.2問題343.2.P34\( A, B \in M_n \) とする。\( A \) が非退化であり、かつ \( B \) が \( A \) と \( A^* \) の両方と可換であると仮定する。このとき \( B \) が正規である...

3.2問題333.2.P33\( A \in M_n \) とする。\( A^* \) が非退化であることと、\( A \) が非退化であることは同値であることを説明せよ。

3.2問題323.2.P32\( A, B \in M_n \) とし、\( C = AB - BA \) とおく。さらに \( A \) が \( C \) と可換とする。もし \( n = 2 \) ならば、\( A \) と \( B...

3.2問題313.2.P31\( A \in M_n \)、部分空間 \( S \subset \mathbb{C}^n \) が与えられたとする。\( S \) が \( A \) の不変部分空間であることと、ある \( B \in M_...

3.2問題303.2.P30\( A \in M_n \)、部分空間 \( S \subset \mathbb{C}^n \) が与えられたとする。次の証明の概要に詳細を補い、\( S \) が \( A \) の不変部分空間であることと、...

3.2問題293.2.P29\( \lambda \in \mathbb{C} \)、\( A = J_k(\lambda) \)、\( B = \in M_k \) とし、\( C = AB - BA \) とする。もし \( C = 0...

3.2問題283.2.P28\( A, x, y, \lambda \) が (3.2.13.1) の仮定を満たし、(3.2.13.2) が \( A \) のジョルダン標準形であるとする。\( v \in \mathbb{C}^n \) ...

3.2問題273.2.P27(a) 各 \( k = 1, 2, \ldots \) について、\(\mathrm{adj}\,J_k(0)\) が \( J_2(0) \oplus 0_{k-2} \) に相似であることを示せ。(b) \...

3.2問題263.2.P26\( A, B \in M_n \) が与えられ、\( A^2 \) が非退化であると仮定する。もし \( AB = B^T A \) かつ \( BA = AB^T \) が成り立つなら、\( B \) が対称...

3.2問題253.2.P25\( A \in M_n \) が与えられ、\( A^2 \) が非退化であると仮定する。このとき以下を説明せよ。(a) \( A \) も非退化である。(b) \( \lambda \) が \( A \) の...

3.2問題243.2.P24この問題は (2.4.P12) の類似である。\( A, B \in M_n \) とし、\( \lambda_1, \ldots, \lambda_d \) を \( A \) の異なる固有値とする。さらに \...

3.2問題23.2.P23\(A\in M_n\)、零の固有値の指数を \(q\) とし、与えられた整数 \(k\ge q\) とする。次を示せ：A^D = \lim_{t\to 0} (A^{k+1} + tI)^{-1} A^k（ここで...

3.2問題223.2.P22\(A\in M_n\) に対して、\(A A^D\) と \(I-A A^D\) が射影（projection）であり、かつ \(A A^D(I-A A^D)=0\) であることを示せ。

3.2問題213.2.P21\(A=\begin{pmatrix} J_2(0) & 0 \\ x^T & 0 \end{pmatrix}\in M_3\) で \(x^T=\)、\(B=I_2\oplus\in M_3\) とする。AB ...

3.2問題203.2.P20\(A,B\in M_n\) を与える。(a) AB が BA に相似であることは、すべての \(k=1,2,\dots,n\) について \(\mathrm{rank}(AB)^k=\mathrm{rank}(...