[行列解析8.3.4]定理：正の固有ベクトルをもつ非負行列のスペクトル半径

8.3.4 定理：正の固有ベクトルをもつ非負行列のスペクトル半径

\( A \in M_n \) を非負行列とする。もし正のベクトル \( x \) と非負実数 \( \lambda \) が存在して、次のいずれかが成り立つとする：

Ax = \lambda x \quad \text{または} \quad x^{T}A = \lambda x^{T}

このとき、\(\lambda = \rho(A)\) が成り立つ。

\( x = [x_i] \in \mathbb{R}^n \) とし、\( Ax = \lambda x \) が成り立つと仮定する。対角行列 \( D = \operatorname{diag}(x_1, \ldots, x_n) \) を定め、次のように行列 \( B \) を定義する：

B = D^{-1} A D

\( B \) は \( A \) と同じ固有値をもつ。ここで \( e \) を全ての成分が 1 のベクトルとすると、

Be = D^{-1} A D e = D^{-1} A x = \lambda D^{-1} x = \lambda e

したがって、非負行列 \( B \) のすべての行和は \(\lambda\) に等しい。式 (8.1.21) より、\(\rho(B) = \lambda\) が従う。したがって、\(\rho(A) = \rho(B) = \lambda\) である。

もし \( x^{T}A = \lambda x^{T} \) が成り立つ場合は、同様の議論を \( A^{T} \) に適用すればよい。

\( A \in M_n \) を非負行列とする。次の各項目を説明せよ。

(a) \(A\) の各列（または行）の和が 1 であることと、\( e^{T}A = e^{T} \)（または \( Ae = e \)）が成り立つことは同値であることを示せ。
(b) もし \( e^{T}A = e^{T} \) であれば、任意の \( m = 2, 3, \ldots \) に対して \( e^{T}A^{m} = e^{T} \) が成り立つ（同様に、もし \( Ae = e \) ならば \( A^{m}e = e \) が成り立つ）。
(c) (b) のいずれかの条件が成り立つとき、任意の \( m = 1, 2, \ldots \) に対して \( A^{m} \) のすべての成分は 0 以上 1 以下であり、したがって \( A \) はべき有界（power bounded）であることを示せ。