4.3.P19
4.3.問題19
\( A \in M_n \) をエルミート行列、\( z \in \mathbb{C}^n \) とする。(4.3.9) の記法を用いると、各 \( i=1,\ldots,n \) に対して \(\lambda_i(A+zz^*)=\lambda_i(A)+\mu_i\) であり、各 \(\mu_i \geq 0\) であることが分かる。さらに
\sum_{i=1}^n \mu_i = z^*z = \lVert z \rVert_2^2
を示せ。
ヒント
(4.3.9) より \( \mu_i=\lambda_i(A+zz^*)-\lambda_i(A)\geq0 \) が成り立つ。固有値の総和は行列のトレースに等しいこと、および \( \operatorname{tr}(zz^*)=z^*z \) を用いれば、\( \sum_{i=1}^n\mu_i \) を求めることができる。
解答例
(4.3.9) より、各 \( i=1,\ldots,n \) に対して \( \lambda_i(A+zz^*)=\lambda_i(A)+\mu_i \) かつ \( \mu_i\geq0 \) である。
したがって、両辺を \( i=1,\ldots,n \) について加えると、
\sum_{i=1}^n\mu_i
=
\sum_{i=1}^n\lambda_i(A+zz^*)
-
\sum_{i=1}^n\lambda_i(A)
を得る。エルミート行列では固有値の総和はトレースに等しいので、
\sum_{i=1}^n\mu_i
=
\operatorname{tr}(A+zz^*)
-
\operatorname{tr}(A)
=
\operatorname{tr}(zz^*)
となる。
さらに、トレースの巡回性を用いると、
\operatorname{tr}(zz^*)
=
\operatorname{tr}(z^*z)
=
z^*z
=
\lVert z\rVert_2^2
を得る。ここで \( z^*z \) は \(1\times1\) 行列であり、そのトレースはその値自身である。
以上より、
\sum_{i=1}^n\mu_i
=
z^*z
=
\lVert z\rVert_2^2
が成り立つ。
[行列解析4.3]エルミート行列に関する固有値の不等式
この節の目次4.3.1 定理（ヴェイアの定理）4.3.3 系4.3.5 系4.3.7 系4.3.9 系4.3.12 系4.3.15 系4.3.17 定理（Cauchy）4.3.21 定理4.3.26 定理4.3.28 定理4.3.34 系4...
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