[行列解析4.3.37]系（ポアンカレの分離定理）

4.3.37
- 系 4.3.37.
- 証明.
行列解析の総本山
- 総本山の目次📚
- 記号の意味🔎

4.3.37

系 4.3.37.

\(A \in M_n\) をエルミート行列とし、\(1 \leq m \leq n\) とする。

さらに、\(u_1, \ldots, u_m \in \mathbb{C}^n\) を直交規格化されたベクトルとする。このとき

B_m = [u_i^{*}Au_j]_{i,j=1}^m \in M_m

とおく。

ここで \(A\) と \(B_m\) の固有値は (4.2.1) のように並べる。このとき次が成り立つ。

(4.3.38)

\lambda_i(A) \leq \lambda_i(B\_m) \leq \lambda_{i+n-m}(A), \quad i = 1, \ldots, m

証明.

\(m \lt n\) の場合、追加の \(n-m\) 個のベクトル \(u_{m+1}, \ldots, u_n\) を選び、\(U = [u_1 \ \cdots \ u_n] \in M_n\) がユニタリとなるようにする。

このとき \(U^{*}AU\) は \(A\) と同じ固有値を持ち、\(B_m\) は \(U^{*}AU\) の主小行列であり、最後の \(n-m\) 行と列を削除して得られる。

従って主張は (4.3.28) から従う。

上の系に現れた行列 \(B_m\) は \(B_m = V^{*}AV\) と表される。

ただし \(V \in M_{n,m}\) は直交規格化された列を持つ。このとき \(\operatorname{tr} B_m = \lambda_1(B_m) + \cdots + \lambda_m(B_m)\) であるから、(4.3.38) の不等式を総和して \(V\) を適切に選ぶことで、(4.2.2) の一般化となる変分表現を得ることができる。