[行列解析4.2.P2]最大固有値の制約付き最大化表示

4.2.P2

4.2.問題2

\( A \in M_n \) がエルミート行列で、少なくとも1つの固有値が正であると仮定する。このとき、次を示しなさい。

\lambda_{\max}(A) = \max \left\{ \tfrac{1}{x^{*}x} : x^{*} A x = 1 \right\}

レイリー商 \( \frac{x^*Ax}{x^*x} \) の最大値が最大固有値 \( \lambda_{\max}(A) \) に一致することを用いる。また、条件 \( x^*Ax = 1 \) を満たすベクトルに対して、スカラー倍による調整を考えると、問題はレイリー商の最大化と同値になる。

エルミート行列 \( A \) に対して、レイリー商の性質より \( \lambda_{\max}(A) = \max_{x \neq 0} \frac{x^*Ax}{x^*x} \) が成立する。

ここで、条件 \( x^*Ax = 1 \) を満たすベクトル全体について \( \frac{1}{x^*x} \) の最大値を考える。

任意の \( x \neq 0 \) に対し、\( x^*Ax > 0 \) のとき、スカラー \( \alpha = \frac{1}{\sqrt{x^*Ax}} \) とおくと、 \( y = \alpha x \) は \( y^*Ay = 1 \) を満たす。このとき

y^*y = \frac{x^*x}{x^*Ax}

したがって

\frac{1}{y^*y} = \frac{x^*Ax}{x^*x}

が成り立つ。よって、条件 \( y^*Ay = 1 \) のもとでの \( \frac{1}{y^*y} \) の最大値は、レイリー商の最大値と一致する。

以上より

\max \left\{ \frac{1}{x^*x} : x^*Ax = 1 \right\} = \max_{x \neq 0} \frac{x^*Ax}{x^*x} = \lambda_{\max}(A)

となる。したがって \( \lambda_{\max}(A) = \max \left\{ \tfrac{1}{x^*x} : x^*Ax = 1 \right\} \) が示された。