4.3.P26
4.3.問題26
\(A, B \in M_n\) を三重対角行列とする。
(a) \(A\) および \(B^*\) が縮退していない(Unreduced) (0.9.9) であり、\(\lambda \in \mathbb{C}\) とする。このとき、\(AB^* - \lambda I\) の最初の \(n-2\) 列は一次独立であることを説明し、従って任意の \(\lambda \in \mathbb{C}\) に対して \(\mathrm{rank}(AB - \lambda I) \geq n-2\) となることを示せ。なぜ \(AB\) の固有値の幾何的重複度は高々 2 となるのかを説明せよ。
(b) \(A\) のすべての上副対角成分および下副対角成分が 0 でない（すなわち \(A\) が縮退していない）場合、なぜ \(A\) のすべての特異値の重複度が高々 2 であるのかを説明せよ。
(c) 次の縮退していない三重対角行列の固有値と特異値を求めよ。
A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}
ヒント
\(AB^{*}\) は五重対角行列である。
縮退していない三重対角行列では副対角成分がすべて非零であることから、最初の \(n-2\) 列は順次消去できる形になり一次独立となる。
(b) では \(AA^{*}\) に (a) の結果を適用する。
(c) では固有方程式と \(A^{*}A\) を直接計算する。
解答例
(a)
\(A\) および \(B^{*}\) は三重対角であるから、\(AB^{*}\) は五重対角行列となる。また、\(A\) と \(B^{*}\) が縮退していないため、第 \(j\) 列には第 \(j+2\) 行に対応する成分が存在し、その値は副対角成分の積であるから非零となる。
したがって、第1列から第\(n-2\)列までを順に見ると、それぞれ前の列には現れない非零成分をもつので、最初の \(n-2\) 列は一次独立である。
ゆえに任意の \(\lambda\in\mathbb{C}\) に対しても、対角成分のみが変化する \(AB^{*}-\lambda I\) の最初の \(n-2\) 列は依然として一次独立であり、
\operatorname{rank}(AB^{*}-\lambda I)\ge n-2となる。
\(AB\) と \(AB^{*}\) は同様の議論が成り立つので、
\operatorname{rank}(AB-\lambda I)\ge n-2である。
したがって、固有空間の次元は
\dim\ker(AB-\lambda I)=n-\operatorname{rank}(AB-\lambda I)\le2となるので、\(AB\) の任意の固有値の幾何的重複度は高々2である。
(b)
\(A\) が縮退していない三重対角行列ならば、\(A^{*}\) も縮退していない三重対角行列である。
特異値は \(AA^{*}\) の固有値の正平方根である。(a) を \(AA^{*}\) に適用すると、\(AA^{*}\) の各固有値の幾何的重複度は高々2である。
\(AA^{*}\) はエルミート行列であるから、幾何的重複度と代数的重複度は一致する。したがって、各固有値の重複度は高々2であり、その平方根である特異値の重複度も高々2となる。
(c)
固有方程式は
\det(A-\lambda I)=\lambda^{2}-1であるから、固有値は
\lambda=\pm1
である。
また、
A^{*}A=A^{2}=Iより、\(A^{*}A\) の固有値はすべて1である。
したがって、特異値は
1,\;1
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