4.2.P1
4.2.問題1
定理 4.2.6（クーラント＝フィッシャー）. \( A \in M_n \) をエルミート行列とし、その固有値を代数的順序で \( \lambda_1 \leq \cdots \leq \lambda_n \) とする。\( k \in \{1, \ldots, n\} \) とし、\( S \) を \( \mathbb{C}^n \) の部分空間とする。このとき次が成立する。
(4.2.7)\lambda_k \;=\; \min_{\{S:\,\dim S = k\}} \; \max_{\{x:\,0 \neq x \in S\}} \; \frac{x^* A x}{x^* x}(4.2.8)\lambda_k \;=\; \max_{\{S:\,\dim S = n-k+1\}} \; \min_{\{x:\,0 \neq x \in S\}} \; \frac{x^* A x}{x^* x}
(4.2.7–8) 定理 4.2.6（クーラント＝フィッシャー）の主張が次の式と同値であることを説明しなさい。
\lambda_k = \min_{\substack{S:\,\dim S = k}} \;\max_{\substack{x \in S \\ \lVert x \rVert_2 = 1}} x^{*} A x
\lambda_k = \max_{\substack{S:\,\dim S = n-k+1}} \;\min_{\substack{x \in S \\ \lVert x \rVert_2 = 1}} x^{*} A x
ヒント
レイリー商 \( \frac{x^*Ax}{x^*x} \) は、ベクトルをスカラー倍しても値が変わらないことに注目する。
この性質から、任意の非零ベクトル \( x \) はノルム \( \lVert x \rVert_2 = 1 \) を満たすように正規化できる。
したがって、「\( x \neq 0 \)」という条件は「\( \lVert x \rVert_2 = 1 \)」に置き換えても極値は変わらない。
解答例
まず、レイリー商 \( R(x) = \frac{x^*Ax}{x^*x} \) は任意の非零スカラー \( \alpha \in \mathbb{C} \) に対して \( R(\alpha x) = R(x) \) を満たす。実際、
R(\alpha x) = \frac{(\alpha x)^* A (\alpha x)}{(\alpha x)^*(\alpha x)}
= \frac{\overline{\alpha}\alpha x^* A x}{\overline{\alpha}\alpha x^* x}
= \frac{x^*Ax}{x^*x}
したがって、任意の非零ベクトル \( x \) に対し、\( \lVert x \rVert_2 = 1 \) となるように \( \tilde{x} = \frac{x}{\lVert x \rVert_2} \) と正規化してもレイリー商の値は変わらない。
このことから、部分空間 \( S \) における最大値は
\max_{\{x:\,0 \neq x \in S\}} \frac{x^*Ax}{x^*x}
=
\max_{\substack{x \in S \\ \lVert x \rVert_2 = 1}} x^*Ax
と書き換えることができる。同様に最小値についても
\min_{\{x:\,0 \neq x \in S\}} \frac{x^*Ax}{x^*x}
=
\min_{\substack{x \in S \\ \lVert x \rVert_2 = 1}} x^*Ax
が成立する。
以上より、クーラント＝フィッシャーの定理における式 (4.2.7), (4.2.8) はそれぞれ次の形と同値である：
\lambda_k = \min_{\substack{S:\,\dim S = k}} \;\max_{\substack{x \in S \\ \lVert x \rVert_2 = 1}} x^* A x
\lambda_k = \max_{\substack{S:\,\dim S = n-k+1}} \;\min_{\substack{x \in S \\ \lVert x \rVert_2 = 1}} x^* A x
したがって、与えられた (4.2.7–8) の主張と単位ベクトルによる表現は同値である。
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