[行列解析4.2.P3]対角成分と固有値の大小関係

4.2.P3

4.2.問題3

\( A = [a_{ij}] \in M_n \) がエルミート行列のとき、(4.2.2(c)) を用いて次を示しなさい。

\lambda_{\max}(A) \geq a_{ii} \geq \lambda_{\min}(A), \quad i = 1, \ldots, n

ただし、いずれかの \( i \) において等号が成り立つのは、すべての \( j = 1, \ldots, n, j \neq i \) に対して \( a_{ij} = a_{ji} = 0 \) のときに限る。例えば \( A = \mathrm{diag}(1,2,3) \) の場合、この条件が成り立っても \( a_{ii} \) が必ずしも \(\lambda_{\max}(A)\) や \(\lambda_{\min}(A)\) に等しいとは限らないことを説明しなさい。

ヒント

標準基底ベクトル \( e_i \) は単位ベクトルであるから、(4.2.2(c)) の結果をそのまま適用できる。また等号成立条件は、レイリー商が最大値または最小値をとるときに対応する固有ベクトルであることから導く。

解答例

\( A = [a_{ij}] \in M_n \) をエルミート行列とする。標準基底ベクトル \( e_i \) を考えると、\( \lVert e_i \rVert_2 = 1 \) であるから、(4.2.2(c)) より \( \lambda_{\min}(A) \leq e_i^* A e_i \leq \lambda_{\max}(A) \) が成り立つ。

ここで \( e_i^* A e_i = a_{ii} \) であるから、

\lambda_{\max}(A) \geq a_{ii} \geq \lambda_{\min}(A), \quad i = 1, \ldots, n

が得られる。

次に等号成立条件を考える。右側の等号 \( a_{ii} = \lambda_{\max}(A) \) が成立するのは、(4.2.2(c)) より \( A e_i = \lambda_{\max}(A) e_i \) が成立する場合に限る。

このとき、\( Ae_i \) は \( A \) の第 \( i \) 列であるから、

Ae_i = \begin{pmatrix} a_{1i} \\ \vdots \\ a_{ii} \\ \vdots \\ a_{ni} \end{pmatrix} = \lambda_{\max}(A) \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}

となるため、\( j \neq i \) に対して \( a_{ji} = 0 \) であり、さらにエルミート性より \( a_{ij} = \overline{a_{ji}} = 0 \) が従う。

同様に、左側の等号 \( a_{ii} = \lambda_{\min}(A) \) が成立するのは \( A e_i = \lambda_{\min}(A) e_i \) のときに限り、同様にして \( j \neq i \) に対し \( a_{ij} = a_{ji} = 0 \) が成り立つ。

最後に例として \( A = \mathrm{diag}(1,2,3) \) を考える。このときすべての非対角成分は 0 であり条件は満たされているが、例えば \( a_{22} = 2 \) は最大固有値 \( \lambda_{\max}(A) = 3 \) や最小固有値 \( \lambda_{\min}(A) = 1 \) とは一致しない。

したがって、非対角成分がすべて 0 であるという条件は必要条件ではあるが、どの固有値に一致するかは対角成分の値そのものに依存することが分かる。