[行列解析4.4.P10]等方ベクトルから作られる対称行列のジョルダン標準形

4.4.P10

4.4.問題10

\(n > 1\) で \(v \in \mathbb{C}^n\) が非零の等方ベクトルである場合、対称行列\(A = vv^{\top}\) が対角化できない理由は？
そのジョルダン標準形は？

\(v\) が等方ベクトルであるとは \(v^{\top}v=0\) を満たすことである。

まず \(A^2\) を計算し、次に \(\operatorname{rank}(A)\) を調べる。

\(A=vv^{\top}\) とおくと、

A^2=(vv^{\top})(vv^{\top})=v(v^{\top}v)v^{\top}

となる。

\(v\) は等方ベクトルであるから、

v^{\top}v=0

である。したがって、

A^2=0

となるので、\(A\) は零ではない冪零行列である。

また、\(v\neq0\) であるから、

\operatorname{rank}(A)=1

である。

もし \(A\) が対角化可能ならば、固有値はすべて \(0\) であるため、対角化後の対角行列は零行列となる。しかし、その場合は \(A=0\) となり、\(\operatorname{rank}(A)=1\) に矛盾する。

したがって、\(A\) は対角化できない。

さらに、\(A^2=0\) であるから、ジョルダンブロックの大きさは高々2である。

一方、\(\operatorname{rank}(A)=1\) であるため、大きさ2のジョルダンブロックはちょうど1個存在し、それ以外は大きさ1の零ジョルダンブロックである。

したがって、\(A\) のジョルダン標準形は

J_2(0)\oplus0_{n-2}

となる。