4.3.P21
4.3.問題21
\( A \in M_n \) をエルミート行列、\( a \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{C}^n \) とする。
(a) \(\hat{A}=\begin{bmatrix} A & y \\ y^* & a \end{bmatrix} \in M_{n+1}\) とする。このとき \(\mathrm{rank}(\hat{A})-\mathrm{rank}(A)\) が取り得る値は 0,1,2 のみであることを説明せよ。
(b) \(\hat{A}=A \pm yy^*\) の場合、\(\mathrm{rank}(\hat{A})-\mathrm{rank}(A)\) が取り得る値は -1,0,+1 のみであることを説明せよ。(4.3.P27) に一般化と精緻化がある。
ヒント
(a) はブロック行列に対して行・列を1本ずつ追加したと考えるとよい。1本の行または列を追加しても階数は高々1しか増えないので、全体では高々2しか増加しない。
(b) は \( yy^* \) が階数1の行列であることを用い、一般に \( \mathrm{rank}(X+Y)\leq \mathrm{rank}(X)+\mathrm{rank}(Y) \) を適用する。
解答例
(a)
まず \(A\) に列ベクトル \(y\) を追加した行列 \(B=[A\ y]\) を考える。列を1本追加しても階数の増加は高々1であるから、
\operatorname{rank}(A)
\le
\operatorname{rank}(B)
\le
\operatorname{rank}(A)+1
が成り立つ。
さらに \(B\) に最後の1行 \( \begin{bmatrix} y^* & a \end{bmatrix} \) を追加すると \(\hat{A}\) となる。1行追加による階数の増加も高々1であるから、
\operatorname{rank}(B)
\le
\operatorname{rank}(\hat{A})
\le
\operatorname{rank}(B)+1
を得る。以上より、
\operatorname{rank}(A)
\le
\operatorname{rank}(\hat{A})
\le
\operatorname{rank}(A)+2
となる。したがって
\operatorname{rank}(\hat{A})
-
\operatorname{rank}(A)
\in
\{0,1,2\}
である。
(b)
\(yy^*\) は階数1の行列であるので、
\operatorname{rank}(yy^*)\le 1
である。階数の劣加法性より、
\operatorname{rank}(A\pm yy^*)
\le
\operatorname{rank}(A)+1
が従う。
一方、 \( A=(A\pm yy^*)\mp yy^* \) と書けるので、同様に
\operatorname{rank}(A)
\le
\operatorname{rank}(A\pm yy^*)+1
となる。したがって、
-1
\le
\operatorname{rank}(A\pm yy^*)
-
\operatorname{rank}(A)
\le
1
を得る。階数は整数値をとるので、
\operatorname{rank}(A\pm yy^*)
-
\operatorname{rank}(A)
\in
\{-1,0,1\}
が成り立つ。
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