3.3 問題29
3.3.P29
\( A, K \in M_n \) とし、\( K \) は反転行列であり、\( A = KAK \) が成り立つとする。このとき以下を示しなさい。
(a) ある \( m \in \{0,1,\ldots,n\} \) と、行列 \( A_{11} \in M_m, A_{22} \in M_{n-m} \) が存在して、\( A \) が \( A_{11} \oplus A_{22} \) に相似であり、さらに \( KA \) が \( A_{11} \oplus (-A_{22}) \) に相似である。
(b) \(\lambda\) が \( A \) の固有値であることと、\(+\lambda\) または \(-\lambda\) が \( KA \) の固有値であることは同値である。
(c) \( A \in M_n \) が中心対称行列 (0.9.10) であり、\( K = K_n \) が逆順行列 (0.9.5.1) であるとき、\(\lambda\) が \( A \) の固有値であることと、\(+\lambda\) または \(-\lambda\) が \( K_n A \) の固有値であることは同値である。この場合、\( K_n A \) は \( A \) の行を逆順に並べた行列である。
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