3.4.P5
3.4.問題5
\(A \in M_n\) を与え、\(A^2=0\) とする。\(r=\operatorname{rank}A\) とし、\(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_r\) を \(A\) の正の特異値とする。このとき、\(A\) はユニタリ相似で次の形に変形できることを示せ：
\begin{bmatrix}
0 & \sigma_1 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
\oplus \cdots \oplus
\begin{bmatrix}
0 & \sigma_r \\
0 & 0
\end{bmatrix}
\oplus 0_{\,n-2r}
さらに、同じサイズの自壊行列（self-annihilating matrix：\(A^2=0\)となる行列）2つがユニタリ相似であるのは、それらが同じ特異値をもつ場合、すなわちユニタリ同値である場合に限ることを説明せよ。別のアプローチについては (2.6.P24) を参照せよ。
ヒント
条件 \(A^2=0\) から \(\operatorname{Im}A \subset \ker A\) が従う。特異値分解を用いると、適当なユニタリ変換で簡単なブロック形にできる。特異値はユニタリ相似で不変であることを用いて分類を行う。
解答例
\(A \in M_n\) が
A^2 = 0
を満たすとする。このとき任意のベクトル \(x\) に対して \(A(Ax)=0\) であるから、
\operatorname{Im}A \subset \ker A
が成り立つ。
ここで \(r=\operatorname{rank}A\) とし、特異値分解により
A = U \Sigma V^{\top}
と表すことができる。ただし \(U,V\) はユニタリ行列であり、\(\Sigma\) は特異値 \(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_r >0\) を対角に持つ。
さらに、\(\operatorname{Im}A \subset \ker A\) であることから、適当な基底をとることで、\(\Sigma\) は次のようなブロック形に整理できる：
\begin{bmatrix}
0 & \Sigma_r \\
0 & 0
\end{bmatrix}
ここで \(\Sigma_r = \mathrm{diag}(\sigma_1,\ldots,\sigma_r)\) である。したがって、ユニタリ相似により
A \sim
\begin{bmatrix}
0 & \sigma_1 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
\oplus \cdots \oplus
\begin{bmatrix}
0 & \sigma_r \\
0 & 0
\end{bmatrix}
\oplus 0_{n-2r}
の形に変形できる。
次に分類について述べる。ユニタリ相似変換は特異値を不変に保つため、2つの行列がユニタリ相似であれば、それらの特異値は一致する。
逆に、同じ特異値を持つ2つの行列は特異値分解により同じ標準形にユニタリ相似で変換されるので、互いにユニタリ相似である。
したがって、同じサイズの自壊行列がユニタリ相似であるための必要十分条件は、それらが同じ特異値を持つことである。すなわちユニタリ同値であることと同値である。
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