3.2.P23
3.2問題23
\(A\in M_n\)、零の固有値の指数を \(q\) とし、与えられた整数 \(k\ge q\) とする。次を示せ：
A^D = \lim_{t\to 0} (A^{k+1} + tI)^{-1} A^k
（ここで極限は \(t\) を正の実数で 0 に近づける極限で良い。）
ヒント
零固有値の指数を \(q\) とすると、\(A\) はジョルダン標準形により \(A\sim J=J_0\oplus J_1\) と分解できる。ここで \(J_0\) は固有値 \(0\) に対応する冪零ブロック、\(J_1\) は非零固有値に対応する可逆部分である。\(k\ge q\) のとき \(J_0^k=0\) が成り立つ。したがって式をジョルダン標準形に移して極限を計算すれば、非零固有値部分では逆行列が現れ、零固有値部分では極限が 0 になることを確かめればよい。
解答例
\(A\in M_n\) とし、固有値 \(0\) の指数を \(q\) とする。すると適当な可逆行列 \(S\) が存在して \(A=SJS^{-1}\) となるジョルダン標準形 \(J\) をとることができる。
このとき \(J\) は
J = J_0 \oplus J_1
と書ける。ここで \(J_0\) は固有値 \(0\) に対応するジョルダンブロックの直和であり冪零行列、\(J_1\) は非零固有値に対応する可逆行列である。
仮定より \(k\ge q\) であるから、冪零指数の性質より
J_0^k = 0
が成り立つ。
次に与えられた式を \(J\) について計算する。相似変換を用いると
(A^{k+1}+tI)^{-1}A^k
=
S (J^{k+1}+tI)^{-1}J^k S^{-1}
となる。したがって極限は \(J\) の場合を調べれば十分である。
まず \(J_0\) 部分については
(J_0^{k+1}+tI)^{-1}J_0^k
=
(tI)^{-1}\cdot 0
=
0
となり、極限も 0 である。
次に \(J_1\) は可逆であるから
(J_1^{k+1}+tI)^{-1}J_1^k
=
J_1^{-1}(I+tJ_1^{-(k+1)})^{-1}
と書ける。ここで \(t\to0\) とすると
\lim_{t\to0}(J_1^{k+1}+tI)^{-1}J_1^k
=
J_1^{-1}
が得られる。
以上より極限は
\lim_{t\to0}(J^{k+1}+tI)^{-1}J^k
=
0 \oplus J_1^{-1}
となる。これはジョルダン標準形における Drazin 逆行列
J^D = 0 \oplus J_1^{-1}
に一致する。
最後に相似変換を戻すと
A^D
=
S J^D S^{-1}
=
\lim_{t\to0}(A^{k+1}+tI)^{-1}A^k
が得られる。したがって求める式が成り立つ。
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