[行列解析8.1.31]系：正の固有ベクトルをもつ非負行列のスペクトル半径の表現

8.1.31系：正の固有ベクトルをもつ非負行列のスペクトル半径の表現

\( A = [a_{ij}] \in M_n \) を非負行列とする。もし \( A \) が正の固有ベクトルをもつならば、次が成り立つ。

8.1.32

\rho(A) = \max_{x \gt 0} \min_{1 \le i \le n} \frac{1}{x_i} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_j = \min_{x \gt 0} \max_{1 \le i \le n} \frac{1}{x_i} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_j

これは、正の固有ベクトルをもつ非負行列のスペクトル半径 \( \rho(A) \) を、行の重み付き和に関する最小値および最大値の変分原理として表現したものである。

上の系を証明せよ。ヒント：式 (8.1.27) において正の固有ベクトル \( x \) を用いること。