目次
- 8.1.8 命題：行列とベクトルの絶対値に関する基本性質
- 8.1.18 定理：非負行列に対するスペクトル半径の比較
- 8.1.19 系：非負行列におけるスペクトル半径の単調性
- 8.1.20 系：非負行列の部分行列とスペクトル半径に関する性質
- 8.1.21 補題：非負行列のスペクトル半径と行・列の和の関係
- 8.1.22 定理：非負行列のスペクトル半径に対する行和および列和の上下界
- 8.1.26 定理：非負行列に対するスペクトル半径の一般化された評価式
- 8.1.29 系：非負行列に対するスペクトル半径の評価
- 8.1.30 系：正の固有ベクトルをもつ非負行列の固有値とスペクトル半径
- 8.1.31 系：正の固有ベクトルをもつ非負行列のスペクトル半径の表現
- 8.1.33 系：非負行列のべき乗とスペクトル半径の関係
- 8.1 問題集
絶対値行列、正行列、非負行列の定義
行列 \( A = [a_{ij}] \in M_{m,n} \) および \( B = [b_{ij}] \in M_{m,n} \) を考える。
成分ごとの絶対値を \( |A| = [\,|a_{ij}|\,] \) と定義する。
\(A\) と \(B\) が実数成分をもつとき、次のように記す：
\( A \ge 0 \) はすべての \( a_{ij} \ge 0 \) を意味し、\( A > 0 \) はすべての \( a_{ij} > 0 \) を意味する。
また、\( A \ge B \) は \( A - B \ge 0 \)、\( A > B \) は \( A - B > 0 \) を意味する。
逆向きの関係 \( \le \)、\( \lt \) も同様に定義される。
\( A \ge 0 \) のとき、\(A\) を非負行列（nonnegative matrix）と呼び、 \( A > 0 \) のとき、\(A\) を正行列（positive matrix）と呼ぶ。
次の基本的な性質は定義から直ちに従う。
演習.
\( A, B \in M_{m,n} \) とする。次を示せ。
(8.1.1) \( |A| \ge 0 \) であり、かつ \( |A| = 0 \) となるのは \( A = 0 \) のとき、かつそのときに限る。
(8.1.2) 任意の \( a \in \mathbb{C} \) に対して \( |aA| = |a|\,|A| \)。
(8.1.3) \( |A + B| \le |A| + |B| \)。
(8.1.4) \( A \ge 0 \) かつ \( A \ne 0 \) ならば、\( A > 0 \) が成り立つのは \( m = n = 1 \) の場合に限る。
(8.1.5) \( A \ge 0, B \ge 0, a, b \ge 0 \) ならば \( aA + bB \ge 0 \)。
(8.1.6) \( A \ge B \) かつ \( C \ge D \) ならば \( A + C \ge B + D \)。
(8.1.7) \( A \ge B \) かつ \( B \ge C \) ならば \( A \ge C \)。
行列解析の総本山
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