[行列解析8.1.20]系：非負行列の部分行列とスペクトル半径に関する性質

8.1.20 系：非負行列の部分行列とスペクトル半径に関する性質

\( A = [a_{ij}] \in M_n \) を非負行列とする。このとき、次の性質が成り立つ。

(a) \( \tilde{A} \) が \( A \) の主小行列（principal submatrix）であるとき、

\rho(\tilde{A}) \le \rho(A)

(b) 各 \( i = 1, \ldots, n \) について、

\max_{i=1,\ldots,n} a_{ii} \le \rho(A)

\rho(A) > 0

(a) \( r = n \) の場合は自明である。\( 1 \le r \lt n \) とし、\( \tilde{A} \) を \( A \) の \( r \times r \) の主小行列とする。このとき、ある順列行列 \( P \) が存在して次が成り立つ：

PAP^{T} = \begin{bmatrix} \tilde{A} & B \\ C & D \end{bmatrix}

先行する定理（定理 8.1.18）より、

\rho(\tilde{A}) = \rho(\tilde{A} \oplus 0_{n-r}) = \rho\!\left( \begin{bmatrix} \tilde{A} & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \right) \le \rho\!\left( \begin{bmatrix} \tilde{A} & B \\ C & D \end{bmatrix} \right) = \rho(PAP^{T}) = \rho(A)

(b) \( r = 1 \) とすれば、各 \( i = 1, \ldots, n \) について \( a_{ii} \le \rho(A) \) が得られる。

(1) 上の命題で、\( A \) が非負であるという仮定は重要である。次の行列を考えよ：

A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}

このとき \( 1 \le \rho(A) \) は成り立つだろうか？

(2) \( A > 0 \) のとき、なぜ \( \rho(A) > 0 \) となるのか説明せよ。

なお、今後非負行列に対するスペクトル半径の上界を求める結果を導く予定であり、定理 8.1.18 は任意の行列に対するスペクトル半径の上界を得る際に有用である。