7.8.11 定理（サースの不等式）
定理 7.8.11（Szászの不等式）．
\( A \in M_n \) を正定値行列とする。このとき、各 \( k = 1, \ldots, n - 1 \) に対して次の不等式が成り立つ。
P_{k+1}(A)^{\binom{n-1}{k}^{-1}} \le P_k(A)^{\binom{n-1}{k-1}^{-1}}
証明．
恒等式 \( A^{-1} = (\det A)^{-1} \operatorname{adj} A \) より、\( A^{-1} \) の各対角成分は、サイズ \( n - 1 \) の主小行列式と \( \det A \) の比であることがわかる。したがって、正定値行列 \( A^{-1} \) にアダマールの不等式 (7.8.2) を適用すると、次の不等式が得られる。
\frac{1}{\det A} = \det A^{-1} \le \frac{P_{n-1}(A)}{(\det A)^n}
したがって、
P_n(A)^{n-1} = (\det A)^{n-1} \le P_{n-1}(A)
よって次が成り立つ。
P_n(A) \le P_{n-1}(A)^{1/(n-1)} = P_{n-1}(A)^{\binom{n-1}{n-2}^{-1}}
これは、サースの不等式族における \( k = n - 1 \) の場合である。残りのケースは帰納的に導くことができる。例えば次の場合を得るために、式 (7.8.13) を \( A \) のすべてのサイズ \( n - 1 \) の主小行列に適用する。サイズ \( n - 2 \) の主小行列は、サイズ \( n - 1 \) の主小行列の中に2回ずつ現れるため、次の不等式が得られる：
P_{n-1}(A)^{n-2} \le P_{n-2}(A)^2
これにより次が導かれる。
P_{n-1}(A)^{\binom{n-1}{n-2}^{-1}}
= P_{n-1}(A)^{1/(n-1)}
\le P_{n-2}(A)^{2/((n-1)(n-2))}
= P_{n-2}(A)^{\binom{n-1}{n-3}^{-1}}
これが \( k = n - 2 \) の場合のサースの不等式である。残りのケースも同様に導くことができる。
演習．
我々は式 (7.8.12) を式 (7.8.2) から導いた。式 (7.8.12) を用いて次を示せ。
a_{11} \cdots a_{nn} = P_1(A)
\ge P_2(A)^{\binom{n-1}{2}^{-1}}
\ge \cdots
\ge P_{k+1}(A)^{\binom{n-1}{k}^{-1}}
\ge \cdots
\ge P_n(A)^{\binom{n-1}{n-1}^{-1}}
= \det A
ここで \( k = 2, \ldots, n - 1 \) である。したがって、サースの不等式はアダマールの不等式を精密化したものであり、両者は同値であることがわかる。
行列解析の総本山
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2025.08.05
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