[行列解析4.1.P27]射影と可換な行列のブロック分解

4.1.P27

4.1.問題27

\(A, P \in M_n\) とし、\(P\) が \(0\) でも \(I\) でもないエルミート射影であるとする。このとき、\(A\) が \(P\) と可換であることと、\(A\) があるユニタリ相似によって

A \sim B \oplus C, \quad B \in M_k, \; C \in M_{n-k}, \; 1 \leq k \leq n-1

の形にできることは同値であることを示せ。

エルミート射影 \(P\) はユニタリ相似により \(I_k \oplus 0\) の形にできる。このとき、\(A\) が \(P\) と可換である条件を、この標準形に移した後で考えると、\(A\) がブロック対角形になることが分かる。

まず、\(P\) はエルミート射影であり、\(0\) でも \(I\) でもないので、あるユニタリ行列 \(U\) が存在して

P = U (I_k \oplus 0_{n-k}) U^*, \quad 1 \leq k \leq n-1

と書ける。

このとき、\(A\) が \(P\) と可換であることは

AP = PA

である。ここで \( \widetilde{A} = U^* A U \) とおくと、この条件は

\widetilde{A} (I_k \oplus 0) = (I_k \oplus 0)\widetilde{A}

と同値である。

ここで \(\widetilde{A}\) をブロック行列

\widetilde{A} = \begin{bmatrix} B & X \\ Y & C \end{bmatrix}

と分割すると、可換条件より

\begin{bmatrix} B & X \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B & 0 \\ Y & 0 \end{bmatrix}

が得られる。したがって

X = 0, \quad Y = 0

となり、\(\widetilde{A}\) はブロック対角行列

\widetilde{A} = B \oplus C

となる。よって

A = U (B \oplus C) U^*

すなわち \(A\) はユニタリ相似により \(B \oplus C\) の形にできる。

逆に、\(A\) があるユニタリ行列 \(U\) により

A = U (B \oplus C) U^*

と書けるとする。このとき

P = U (I_k \oplus 0) U^*

とおけば、ブロック対角行列同士は可換であるから

(B \oplus C)(I_k \oplus 0) = (I_k \oplus 0)(B \oplus C)

が成り立ち、ユニタリ変換を戻すことで

AP = PA

が従う。

以上より、\(A\) が \(P\) と可換であることと、\(A\) がユニタリ相似により \(B \oplus C\) の形に分解できることは同値である。